📚 1. المحدد الأصغر (Minor)
لحساب قيمة محدد الرتبة الثالثة، نحتاج أولاً إلى مفهوم "المحدد الأصغر" المرتبط بكل عنصر داخل المحدد.
تعريف: المحدد الأصغر للعنصر $\ar{a_{r \transt{w}{و}}}$ (العنصر في الصف $\ar{r}$ والعمود $\ar{\transt{w}{و}}$) هو قيمة المحدد من الرتبة الثانية الذي ينتج عن حذف الصف $\ar{r}$ والعمود $\ar{\transt{w}{و}}$ اللذين يقع فيهما العنصر.
الرمز: نرمز للمحدد الأصغر للعنصر $\ar{a_{r \transt{w}{و}}}$ بالرمز $\ar{m_{r \transt{w}{و}}}$.
مثال توضيحي:
للمحدد: $$ \ar{\Delta = \left| \begin{matrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} \end{matrix} \right|} $$
- المحدد الأصغر للعنصر $\ar{a_{1 1}}$ هو $\ar{m_{1 1} = \left| \begin{matrix} a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 2} & a_{3 3} \end{matrix} \right|}$.
- المحدد الأصغر للعنصر $\ar{a_{2 3}}$ هو $\ar{m_{2 3} = \left| \begin{matrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{3 1} & a_{3 2} \end{matrix} \right|}$.
➕ 2. العامل المرافق (Cofactor)
العامل المرافق هو خطوة إضافية بعد إيجاد المحدد الأصغر، حيث نأخذ في الاعتبار إشارة تعتمد على موقع العنصر.
الصيغة:
الإشارة $\ar{(-1)^{r+d}}$: تعتمد على موقع العنصر:
- تكون موجبة (+) إذا كان $\ar{r+d}$ زوجياً.
- تكون سالبة (-) إذا كان $\ar{r+d}$ فردياً.
نمط الإشارات:
$$ \ar{ \left| \begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix} \right| } $$
🧮 3. إيجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة
أ) طريقة العوامل المرافقة (فك المحدد)
القاعدة: قيمة المحدد ($\ar{\Delta}$) تساوي مجموع حاصل ضرب كل عنصر في أي صف (أو أي عمود) في العامل المرافق لهذا العنصر.
مثال (باستخدام الصف الأول):
$$ \ar{\Delta = a_{1 1}(m_{1 1}) - a_{1 2}(m_{1 2}) + a_{1 3}(m_{1 3})} $$
ب) طريقة الأسهم (قاعدة ساروس)
هذه طريقة بديلة وسريعة لحساب قيمة محدد الرتبة الثالثة فقط:
- أعد كتابة العمودين الأول والثاني على يسار المحدد.
- احسب مجموع نواتج ضرب الأقطار الرئيسية (المجموع الرئيسي).
- احسب مجموع نواتج ضرب الأقطار الثانوية (المجموع الثانوي).
- قيمة المحدد = (المجموع الرئيسي) - (المجموع الثانوي).