1- العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{2,1}}$ في المحدد $\ar{\begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 0 & 4 & -2 \\ 3 & 5 & 4 \end{vmatrix}}$ هو شرح السؤال العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{i,j}}$ هو $\ar{(-1)^{i+j}}$ مضروباً في المحدد الأصغر الذي ينتج عن حذف الصف $\ar{i}$ والعمود $\ar{j}$. انتبه جيداً لإشارة العامل المرافق. 17 6 -17 -6 الإجابة الصحيحة (17)لإيجاد العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{2,1}}$ (الذي يقع في الصف الثاني والعمود الأول وقيمته 0)، نتبع الخطوات التالية:تحديد إشارة العامل المرافق:الإشارة تُعطى بـ $\ar{(-1)^{i+j}}$. هنا الصف $\ar{i = 2}$ والعمود $\ar{j = 1}$، إذن الإشارة هي $\ar{(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1}$ (سالبة).إيجاد المحدد الأصغر:نحذف الصف الثاني والعمود الأول من المحدد الأصلي لنحصل على المحدد الأصغر:$\ar{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$حساب قيمة المحدد الأصغر:القيمة = $\ar{(2)(4) - (5)(5) = 8 - 25 = -17}$.حساب العامل المرافق:العامل المرافق = (الإشارة) × (قيمة المحدد الأصغر)= $\ar{(-1) \times (-17) = 17}$.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 3-1: العوامل المرافقة، صفحة 12)
2- العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{2,1}}$ في المحدد $\ar{\begin{vmatrix}3 & 2 & 5 \\ 0 & 4 & -2 \\ 3 & 5 & 4 \end{vmatrix}}$ هو .......... شرح السؤال 🔍 تأمل معي: قاعدة الإشارات؛ لحساب العامل المرافق، احذف الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر المعني، ثم أوجد قيمة المحدد الثنائي المتبقي مع الانتباه الفائق لشبكة الإشارات الموقعية! $\ar{17}$ $\ar{0}$ $\ar{-17}$ $\ar{-6}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{17}$ المفهوم: العامل المرافق (Cofactor) لعنصر محدد، يُحسب بشطب صف وعمود هذا العنصر المعني لإيجاد المحدد الأصغر المتبقي، ثم يُضرب الناتج في الإشارة الموقعية $\ar{(-1)^{r+d}}$ حيث $\ar{r}$ و $\ar{d}$ هما ترتيب الصف والعمود لذلك العنصر. خطوات الحل: العنصر $\ar{a_{2,1}}$ يقع في الصف الثاني، العمود الأول (قيمته في المصفوفة صفر، لكننا نهتم بموقعه المكاني فقط لاستخراج المحدد). نشطب الصف الثاني والعمود الأول ذهنياً أو بالقلم. يتبقى المحدد الثنائي المصغر: $\ar{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$. قيمته تُحسب بالقطرين: $\ar{(2\times4) - (5\times5) = 8 - 25 = -17}$. نحدد الإشارة الموقعية للعنصر $\ar{a_{2,1}}$ بناءً على موقعه الفردي: $\ar{(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1}$. نضرب الإشارة الموقعية المستخرجة في قيمة المحدد الأصغر: $\ar{-1 \times (-17) = 17}$. ⚠️ خطأ شائع: العنصر $\ar{a_{2,1}}$ موقعه في الصف الثاني والعمود الأول، وبالتالي مجموع دليليه فردي ($2+1=3$). هذا الاستدلال المبكر يعني أن إشارته المرافقة ستكون سالبة وسيتم حتماً عكس إشارة المحدد الثنائي الناتج. الكثير ينسون هذا الانعكاس الإشاري ويختارون $\ar{-17}$. هذا التوقع المبكر لضرورة قلب الإشارة ينبهنا لاستبعاد الخيارات التي تتجاهل قاعدة الإشارات كالمصيدة $\ar{-17}$. 💡 إضاءة (وسع إدراكك): العوامل المرافقة تمثل العمود الفقري للخوارزميات المستخدمة في التشفير الرياضي وإيجاد معكوس المصفوفات الضخمة لإدارة قواعد البيانات. (الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-3: العوامل المرافقة لعناصر محدد من الرتبة الثالثة، ص 12)
3- العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{12}}$ في المحدد $\ar{\begin{vmatrix} 3& 1 & -1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 0 & 1 &-3 \end{vmatrix}}$ يساوي ........ شرح السؤال 🧠 فكر معي: العامل المرافق يختلف عن المحدد الأصغر بإشارة الموضع. حدد موقع العنصر، واشطب صفه وعموده، ثم اضرب محدد البواقي في قاعدة الإشارات. $\ar{-2}$ $\ar{2}$ $\ar{5}$ $\ar{-1}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$📌 التوضيح: العامل المرافق للعنصر $\ar{a_{ij}}$ يُحسب بالقاعدة $\ar{a_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}}$ حيث $\ar{M_{ij}}$ هو المحدد الأصغر الناتج عن حذف الصف $\ar{i}$ والعمود $\ar{j}$.خطوات الحل:العنصر $\ar{a_{12}}$ هو الرقم $5$ (يقع في الصف الثاني، العمود الأول).نشطب الصف الثاني والعمود الأول لاستخراج المحدد الأصغر $\ar{M_{21}}$: $\ar{\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}}$.نحسب قيمته: $\ar{1(-3) - (-1)(1) = -3 + 1 = -2}$.نطبق قاعدة الإشارات الموضعية: $\ar{i+j = 2+1 = 3}$ (فردي، إذن الإشارة سالبة).نضرب الإشارة في المحدد الأصغر: $\ar{-(-2) = 2}$. إذن العامل المرافق هو $2$.⚠️ خطأ شائع: النسيان المتكرر لضرب المحدد الأصغر في الإشارة السالبة الخاصة بموضعه الفردي، مما يجعل الطالب يختار الإجابة المتسرعة $-2$.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-2: العوامل المرافقة، ص 12)
