تمضي الأمور بسلام عند التعامل مع الأعداد الموجبة. إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المتباينة على عدد موجب، فإن علامة التباين لا تتغير.

مثال للتوضيح:

تخيل أن أحمد يملك دينارين وعمر يملك 4 دنانير. ما يملكه أحمد ( أقل ) أصغر مما يملكه عمر (\(\ar{2 < 4}\)). إذا قررنا مضاعفة أموالهما 3 مرات (الضرب في 3 الموجب)، سيصبح لدى أحمد 6 دنانير ولدى عمر 12 ديناراً. ما زال أحمد يملك الأقل (\(\ar{6 < 12}\)). إذن العلاقة والترتيب لم يتغيرا.

رياضياً:

• إذا ضربنا الطرفين في العدد الموجب 2: \(\ar{2 \times 2 < 4 \times 2 \implies 4 < 8}\) (صحيحة).
• إذا قسمنا الطرفين على العدد الموجب 2: \(\ar{\frac{2}{2} < \frac{4}{2} \implies 1 < 2}\) (صحيحة).

هنا تكمن الخدعة الوحيدة في المتباينات. عند ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب، يجب عكس علامة التباين فوراً لتبقى العبارة الرياضية صحيحة.

قاعدة الانعكاس:

• \(\ar{<}\) تتغير إلى \(\ar{>}\)
• \(\ar{>}\) تتغير إلى \(\ar{<}\)
• \(\ar{\le}\) تتغير إلى \(\ar{\ge}\)
• \(\ar{\ge}\) تتغير إلى \(\ar{\le}\)

مثال يوضح الخطر:

لنعد للمتباينة الصحيحة: \(\ar{2 < 4}\)

• خطأ شائع: الضرب في -2 مع ترك العلامة كما هي: \(\ar{2 \times -2 < 4 \times -2 \implies -4 < -8}\). (هذه عبارة خاطئة لأن -4 في الواقع أكبر من -8 وليس أصغر منه!)
• الطريقة الصحيحة: الضرب في -2 مع قلب العلامة: \(\ar{-4 > -8}\). (هذه عبارة صحيحة رياضياً).

قد تحفظ القاعدة، لكن هل فكرت يوماً لماذا نقلب العلامة؟ السر يكمن في ما يفعله "العدد السالب" بخط الأعداد.

عندما نضرب في عدد سالب، نحن لا نغير القيمة فقط، بل نعكس الاتجاه بالكامل (انعكاس حول الصفر).

لدينا الرقمان 2 و 4. من الواضح أن الـ 4 تقع على يمين الـ 2، إذن \(\ar{4 > 2}\).

الآن، اضرب الرقمين في -1.

• الرقم 4 قفز للجهة المعاكسة وأصبح -4.
• الرقم 2 قفز للجهة المعاكسة وأصبح -2.

ماذا تلاحظ؟ الرقم 4 الذي كان الأبعد على اليمين (الأكبر)، أصبح -4 وهو الأبعد على اليسار (الأصغر). لقد انقلب الترتيب بأكمله! وبما أن الترتيب انقلب، يجب أن تنقلب علامة التباين لتعبر عن هذا الترتيب الجديد لتصبح \(\ar{-4 < -2}\).

لحل المتباينة، نقوم بعزل المتغير باستخدام العملية العكسية. تذكر أن القسمة هي الوجه الآخر للضرب.

مثال (1): القسمة على موجب

حل المتباينة: \(\ar{3x \le 12}\)

• المتغير مضروب في 3 (موجب)، لذا نقسم الطرفين على 3.
• \(\ar{\frac{3x}{3} \le \frac{12}{3}}\) (لا نغير العلامة).
• الحل: \(\ar{x \le 4}\)

مثال (2): القسمة على سالب

حل المتباينة: \(\ar{-2x < 12}\)

• المتغير مضروب في -2 (سالب)، لذا نقسم الطرفين على -2 ونقلب العلامة فوراً!
• \(\ar{\frac{-2x}{-2} > \frac{12}{-2}}\)
• الحل: \(\ar{x > -6}\)

مثال (3): التخلص من الكسر السالب

حل المتباينة: \(\ar{-\frac{x}{4} < 8}\)

• المتغير مقسوم على -4 (سالب)، لذا نضرب الطرفين في -4 ونقلب العلامة فوراً!
• \(\ar{-\frac{x}{4} \times -4 > 8 \times -4}\)
• الحل: \(\ar{x > -32}\)

• تمرين 1 - جـ (حل المتباينات بالضرب والقسمة)
  التدرب على عزل المتغيرات في المتباينات باستخدام الضرب والقسمة، مع التركيز على الانتباه للإشارة السالبة ومتى يجب قلب علامة التباين.