الفصل 1: المتباينات
الدرس 1-1: الفترات والمتباينات على خط الأعداد
- الصفحات: 14-15
- في هذا الدرس:
- التعرف على مفهوم "الفترة" وكيفية التعبير عن مجموعة من الأعداد.
- التمييز بين الفترات المفتوحة، المغلقة، نصف المفتوحة، واللانهائية.
- رسم وتمثيل المتباينات والفترات بشكل دقيق على خط الأعداد.
1. مفهوم الفترة وأنواعها
نفرض أن المتغير الحقيقي \(\ar{x}\) يأخذ قيماً مختلفة لمجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية. ولأن هذه المجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من النقط (الأعداد)، فإنه يقال للمتغير \(\ar{x}\) بأنه متصل بين حدين، وتسمى هذه المجموعة بـ الفترة.
هناك حالات مختلفة للفترات، ويمكن تمثيلها جبرياً وبالرموز كما يلي:
| اسم الفترة | التعبير الجبري للمجموعة | الرمز |
|---|---|---|
| فترة مفتوحة | \(\ar{a < x < b}\) | \(\ar{(a, b)}\) |
| فترة مغلقة | \(\ar{a \le x \le b}\) | \(\ar{[a, b]}\) |
| فترة نصف مفتوحة (أو نصف مغلقة) | \(\ar{a \le x < b}\) | \(\ar{[a, b)}\) |
| فترة نصف مفتوحة (أو نصف مغلقة) | \(\ar{a < x \le b}\) | \(\ar{(a, b]}\) |
| فترة لا نهائية | \(\ar{x > a}\) | \(\ar{(a, \infty)}\) |
| فترة لا نهائية | \(\ar{x \le a}\) | \(\ar{(-\infty, a]}\) |
| فترة لا نهائية | \(\ar{x < a}\) | \(\ar{(-\infty, a)}\) |
| فترة لا نهائية | \(\ar{x \ge b}\) | \(\ar{[b, \infty)}\) |
| مجموعة الأعداد الحقيقية | \(\ar{-\infty < x < \infty}\) | \(\ar{(-\infty, \infty)}\) |
ملحوظة: لا تتضمن النقطة المفتوحة \(\ar{( \ )}\) القيمة التي عند طرفها، بينما تتضمن النقطة المغلقة \(\ar{[ \ ]}\) القيمة الموجودة عند طرفها.
2. المتباينات على خط الأعداد (التمثيل البصري)
أي عدد يمكن تمثيله على خط الأعداد. الأعداد التي تقع على يمين عدد معين \(\ar{x}\) تعتبر أكبر منه، والتي تقع على اليسار تعتبر أصغر منه.
- النقطة المفتوحة (◯): تعني أن العدد الذي تحتها مباشرة غير متضمن فيها (تُستخدم مع \(\ar{<}\) و \(\ar{>}\)).
- النقطة المغلقة (⬤): تعني أن العدد الذي تحتها مباشرة متضمن فيها (تُستخدم مع \(\ar{\le}\) و \(\ar{\ge}\)).
أمثلة للتمثيل الدقيق:
1. الأعداد الأكبر من 1 (\(\ar{x > 1}\)): فترة غير منتهية \(\ar{(1, \infty)}\)، نستخدم نقطة مفتوحة وسهماً لليمين.
2. الأعداد الأقل من 3 (\(\ar{x < 3}\)): فترة غير منتهية \(\ar{(-\infty, 3)}\)، نستخدم نقطة مفتوحة وسهماً لليسار.
3. الأعداد الأقل من أو تساوي -1 (\(\ar{x \le -1}\)): فترة \(\ar{(-\infty, -1]}\)، نستخدم نقطة مغلقة وسهماً لليسار.
3. تمثيل الفترات المحدودة بين عددين
عندما تقع الأعداد بين قيمتين، نمثلها بقطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين (مفتوحتين أو مغلقتين).
1. الأعداد المحصورة بين -3 و 1 (\(\ar{-3 < x < 1}\)): فترة مفتوحة \(\ar{(-3, 1)}\).
2. الأعداد من -2 إلى 3 (\(\ar{-2 \le x \le 3}\)): فترة مغلقة \(\ar{[-2, 3]}\).
التمارين المرتبطة بهذا الدرس
- تمرين 1 - أ (تمثيل المتباينات جبرياً وبصرياً)
التدرب على قراءة خط الأعداد وتحويله إلى صيغة جبرية (متباينات) ورموز فترات.