الدالة (Function) علاقة تربط كل قيمة مسموح بها لمتغير بقيمة محددة لمتغير آخر. يسمى الأول المتغير المستقل (Independent variable)، والثاني المتغير التابع (Dependent variable)؛ لأن قيمته تتحدد وفقًا لقيمة المتغير المستقل.

نرى هذا الترابط في مواقف يومية: إذا تحركت سيارة بسرعة ثابتة، فإن المسافة التي تقطعها تتغير مع الزمن؛ وإذا كان سعر الكيلوغرام معلومًا، فإن ثمن كمية من التفاح يتغير بحسب عدد الكيلوغرامات. في كل حالة توجد كمية تتغير تبعًا لكمية أخرى.

الاشتقاق (Differentiation) هو إجراء رياضي نستخدمه لمعرفة معدل تغيّر كمية بالنسبة إلى كمية أخرى. أما التفاضل فيُستعمل في هذا السياق للدلالة على عملية الاشتقاق أو دراستها. وبصورة مبسطة: بدل أن نسأل فقط «كم بلغت الكمية؟»، نسأل «كيف تتغير عندما تتغير الكمية الأخرى؟».

ففي مثال السيارة، يمكن أن يساعدنا معدل تغيّر المسافة بالنسبة إلى الزمن على وصف السرعة. وفي مثال ثمن التفاح، إذا كان سعر الكيلوغرام ثابتًا، فإن معدل تغيّر الثمن بالنسبة إلى الوزن يساوي سعر الكيلوغرام. هذه أمثلة لتوضيح فكرة التغيّر، أما حساب المشتقات في الدرس فيعتمد على القواعد الرياضية.

والآن نعتمد الدالة الآتية مثالًا حسابيًا:

\(\ar{y=2x^3+3x^2+5x}\)

عندما نشتق هذه الدالة بالنسبة إلى \(\ar{x}\)، نحصل على المشتقة الأولى (First derivative). وباستخدام قاعدة القوة، نشتق كل حد:

1. مشتقة \(\ar{2x^3}\) هي \(\ar{6x^2}\).
2. مشتقة \(\ar{3x^2}\) هي \(\ar{6x}\).
3. مشتقة \(\ar{5x}\) هي \(\ar{5}\).

إذن \(\ar{\frac{dy}{dx}=6x^2+6x+5}\). وهذا الناتج يصف معدل تغيّر \(\ar{y}\) بالنسبة إلى \(\ar{x}\).

عندما نقول «نشتق بالنسبة إلى \(\ar{x}\)»، فإننا نحدد أن \(\ar{x}\) هو المتغير الذي نقيس التغيّر بالنسبة إليه. والرمز \(\ar{\frac{d}{dx}}\) يشير إلى إجراء الاشتقاق بالنسبة إلى \(\ar{x}\)، بينما يوضح التعبير الذي يأتي بعده ما الذي نريد اشتقاقه.

مثلًا، إذا كانت \(\ar{y}\) تعتمد على \(\ar{x}\)، فإن \(\ar{\frac{dy}{dx}}\) تمثل المشتقة الأولى. وإذا أردنا اشتقاق هذا الناتج مرة أخرى، نكتب:

\(\ar{\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}\)

أي إننا نطبّق عملية الاشتقاق على المشتقة الأولى نفسها. وتكتب النتيجة بالترميز المختصر:

\(\ar{\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}}\)

انتبه: هذه كتابة لعملية اشتقاق متتابعة، وليست قسمةً عادية أو ضربًا بين الرموز كما لو كانت أعدادًا منفصلة.

المشتقة الثانية (Second derivative) هي مشتقة المشتقة الأولى؛ أي نشتق الناتج مرة أخرى بالنسبة إلى المتغير نفسه. ويرمز إليها بـ\(\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}\)، أو بـ\(\ar{f''(x)}\) إذا رمزنا إلى الدالة بـ\(\ar{f(x)}\).

في المثال الذي نعتمده، المشتقة الأولى هي:

\(\ar{\frac{dy}{dx}=6x^2+6x+5}\)

نشتق حدودها: مشتقة \(\ar{6x^2}\) هي \(\ar{12x}\)، ومشتقة \(\ar{6x}\) هي \(\ar{6}\)، ومشتقة الثابت \(\ar{5}\) هي صفر. لذلك:

\(\ar{\frac{d^2y}{dx^2}=12x+6}\)

الفرق المهم: \(\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}\) تعني اشتقاق الدالة مرتين، أما \(\ar{\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\) فتعني تربيع قيمة المشتقة الأولى. الاشتقاق عملية رياضية، والتربيع عملية أخرى؛ لذلك لا يجوز الخلط بينهما.

ولنرَ الفرق بالأرقام عند \(\ar{x=1}\): المشتقة الأولى تساوي \(\ar{6(1)^2+6(1)+5=17}\)، ومربعها يساوي \(\ar{17^2=289}\). أما المشتقة الثانية عند \(\ar{x=1}\) فتساوي \(\ar{12(1)+6=18}\). إذن القيم مختلفة لأن العمليتين مختلفتان.

لفهم المشتقات العليا، تخيّل أننا نصعد سلّمًا؛ في كل درجة نشتق الناتج الذي وصلنا إليه في الدرجة السابقة. نستخدم الدالة نفسها الواردة في الدرس:

\(\ar{y=2x^3+3x^2+5x}\)

1. الدرجة الأولى — المشتقة الأولى: نشتق الدالة الأصلية حدًّا حدًّا، فنحصل على:

   \(\ar{y'=6x^2+6x+5}\)

2. الدرجة الثانية — المشتقة الثانية: لا نرجع إلى الدالة الأصلية؛ بل نشتق المشتقة الأولى:

   \(\ar{y''=12x+6}\)

3. الدرجة الثالثة — المشتقة الثالثة: نشتق المشتقة الثانية:

   \(\ar{y'''=12}\)

4. الدرجة الرابعة — المشتقة الرابعة: مشتقة العدد الثابت \(\ar{12}\) تساوي صفرًا:

   \(\ar{y^{(4)}=0}\)

لاحظ النمط: في كل مرة نشتق فيها، ننقص درجة حدود الدالة التي تحتوي على \(\ar{x}\). وعندما نصل إلى ثابت، تكون مشتقته صفرًا؛ وإذا اشتققنا الصفر مرة أخرى، فستبقى النتيجة صفرًا.

قاعدة للتوقّع: إذا كانت الدالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة، فإن مشتقتها الرابعة تساوي صفرًا. وبوجه عام، كثيرة الحدود من الدرجة \(\ar{n}\) تصبح مشتقتها من الرتبة \(\ar{n+1}\) صفرًا، وتبقى المشتقات الأعلى صفرًا أيضًا.

إذن المشتقات العليا ليست عمليات مختلفة؛ إنها تكرار لعملية الاشتقاق على الناتج السابق، حتى نعرف كيف يتغيّر هذا الناتج من مرة إلى أخرى.