1- إذا كان $\ar{xy = 1}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} \times \frac{d^2x}{dy^2} = 4}$ عندما $\ar{x \neq 1}$، بحيث $\ar{x \neq 0}$، $\ar{y \neq 0}$. شرح السؤال أوجد المشتقة الثانية لـ $\ar{y}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$. ثم أوجد المشتقة الثانية لـ $\ar{x}$ بالنسبة لـ $\ar{y}$. اضرب الناتجين وقارن بالرقم 4. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحساب طرفي المعادلة، نشتق كل متغير بالنسبة للآخر مرتين.1. حساب $\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}$:$\ar{y = \frac{1}{x} = x^{-1}}$$\ar{\frac{dy}{dx} = -x^{-2}}$$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}}$2. حساب $\ar{\frac{d^2x}{dy^2}}$:$\ar{x = \frac{1}{y} = y^{-1}}$$\ar{\frac{dx}{dy} = -y^{-2}}$$\ar{\frac{d^2x}{dy^2} = 2y^{-3} = \frac{2}{y^3}}$3. ضرب الناتجين:$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} \times \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{2}{x^3} \times \frac{2}{y^3} = \frac{4}{(xy)^3}}$بما أن المعادلة الأصلية هي $\ar{xy = 1}$، نعوض بهذه القيمة:$\ar{\frac{4}{(1)^3} = 4}$الطرف الأيسر من المعادلة يساوي 4، وهو ما يطابق الطرف الأيمن. إذن العبارة صحيحة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
2- $\ar{\frac{d^3}{dx^3} [(1 + x^2)(1 - x^2)] = \dots\dots}$ شرح السؤال قبل البدء في الاشتقاق ثلاث مرات، بسّط المقدار داخل القوسين. تذكر الفرق بين مربعين. $\ar{-12 x^2}$ $\ar{-4x^3}$ $\ar{-24x}$ $\ar{24x}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{-24x}$)تبسيط الدالة الأصلية:المقدار $\ar{(1 + x^2)(1 - x^2)}$ هو فرق بين مربعين، ويساوي $\ar{1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4}$.إذن، $\ar{y = 1 - x^4}$.المشتقة الأولى:$\ar{\frac{dy}{dx} = -4x^3}$.المشتقة الثانية:$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = -12x^2}$.المشتقة الثالثة:$\ar{\frac{d^3y}{dx^3} = -24x}$.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
3- إذا كانت $\ar{d(x) = x^2 - 5x + 1}$ وكان $\ar{d'(k) = 7}$ فإن قيمة $\ar{k = \dots\dots}$ شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى للدالة $\ar{d(x)}$. بعد ذلك، عوض عن كل $\ar{x}$ بالمتغير $\ar{k}$ وساوِ المعادلة بالرقم 7 لحل قيمة $\ar{k}$. $\ar{5}$ $\ar{6}$ $\ar{4}$ $\ar{2}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{6}$)هذه المسألة تتطلب إيجاد المشتقة ثم حل معادلة بسيطة.إيجاد المشتقة الأولى $\ar{d'(x)}$:$\ar{d'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 5x + 1) = 2x - 5}$التعويض بـ $\ar{k}$ ومساواة الناتج بـ 7:المعطى هو $\ar{d'(k) = 7}$. نعوض $\ar{x = k}$ في المشتقة:$\ar{2k - 5 = 7}$حل المعادلة لإيجاد $\ar{k}$:$\ar{2k = 7 + 5}$$\ar{2k = 12}$$\ar{k = 6}$إذن، قيمة $\ar{k}$ التي تحقق الشرط هي 6.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
4- إذا كانت $\ar{y = \frac{a^2}{x} + x}$ حيث $\ar{a}$ ثابت، $\ar{x \neq 0}$ فإن $\ar{x^2 y' = \dots\dots}$ شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى $\ar{y'}$، ثم اضربها في $\ar{x^2}$. $\ar{a - x^2}$ $\ar{x^2 - a^2}$ $\ar{x^2 + a^2}$ $\ar{x^2 + a}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{x^2 - a^2}$)إعادة كتابة الدالة: لتسهيل الاشتقاق، نكتب $\ar{y = a^2 x^{-1} + x}$.إيجاد المشتقة الأولى ($\ar{y'}$):$\ar{y' = a^2(-1)x^{-2} + 1 = -a^2 x^{-2} + 1 = -\frac{a^2}{x^2} + 1}$.حساب $\ar{x^2 y'}$:$\ar{x^2 y' = x^2 \left( -\frac{a^2}{x^2} + 1 \right) = -a^2 + x^2}$.الناتج النهائي هو $\ar{x^2 - a^2}$.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
