لا يكفي أن تتشابه المصفوفتان في الشكل العام؛ فتساوي مصفوفتين يتطلب شرطين معًا: أن تكونا من النوع نفسه، وأن يتساوى كل عنصر مع نظيره في الموقع نفسه.

• الشرط الأول: أن تكون للمصفوفتين الرتبة نفسها أي نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة.
• الشرط الثاني: أن يساوي كل عنصر نظيره في الموقع نفسه لجميع المواقع في المصفوفة.
• إذا ظهرت مجاهيل داخل عناصر متساوية، نكتب معادلات بمقارنة المواقع المتناظرة ثم نحلها لإيجاد القيم.
• مثال: إذا كانت $$ \ar{A = \begin{bmatrix} 2 & x & 6 \\ y & 3 & -5 \end{bmatrix}} $$ و $$ \ar{B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 4 & 3 & z \end{bmatrix}} $$ و $ \ar{A = B} $ فإن $ \ar{x = -1} $، $ \ar{y = 4} $، $ \ar{z = -5} $.

ضرب مصفوفة في عدد حقيقي يعني توسيع أو تقليص كل عنصر بالمقدار نفسه، مع الحفاظ على ترتيب العناصر داخل المصفوفة.

• القاعدة: نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد على انفراد.
• إذا كان العدد سالبًا مثل −5 فإن إشارة كل عنصر في الناتج تنعكس وفق إشارة حاصل الضرب.
• إذا كان العدد كسرًا مثل 1/2 فإن كل عنصر يُقسم على 2 أو يُكتب بصورة كسر مكافئ.
• مثال 10: إذا كانت $$ \ar{A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}} $$ فإن $$ \ar{3A = \begin{bmatrix} 12 & 15 \\ 9 & -6 \end{bmatrix}} $$.

عمليتا الجمع والطرح تعملان عنصرًا مع نظيره، لكنهما لا يُسمح بهما إلا إذا كانت المصفوفتان من النوع نفسه، وسلوكهما يختلف في خاصية الإبدال.

• شرط التنفيذ: لا نجمع ولا نطرح إلا مصفوفتين لهما الرتبة نفسها أي نفس النوع.
• في الجمع نضيف كل عنصر إلى نظيره، وفي الطرح نطرح كل عنصر من نظيره.
• جمع المصفوفات عملية إبدالية: $ \ar{A + B = B + A} $ دائمًا عندما يكون الجمع معرفًا.
• طرح المصفوفات ليست عملية إبدالية: $ \ar{A - B} $ يختلف عمومًا عن $ \ar{B - A} $.

لاحظ أن

إذا حسبت $ \ar{A+B} $ و $ \ar{B+A} $ فستحصل على النتيجة نفسها، أما $ \ar{A-B} $ و $ \ar{B-A} $ فغالبًا يختلفان؛ لذلك نقول إن الجمع إبدالي والطرح ليس إبداليًا.

المعكوس الجمعي للمصفوفات يعني أن لكل مصفوفة أ مصفوفة −أ إذا جُمعت معها أعطت المصفوفة الصفرية، وتُبنى ببساطة بعكس إشارة كل عنصر.

• إذا كان $ \ar{A + B = 0} $ وكانت المصفوفتان من النوع نفسه فإن ب تسمى المعكوس الجمعي لـ أ، ونكتب $ \ar{B = -A} $.
• لتكوين −أ نعكس إشارة كل عنصر في أ دون تغيير مواضع العناصر.
• الخاصية الأساسية: $ \ar{A + (-A) = 0} $، حيث 0 هي المصفوفة الصفرية من النوع نفسه.
• مثال: $$ \ar{A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -3 \\ 5 & -2 & 4 \end{bmatrix}} $$ يعطي $$ \ar{-A = \begin{bmatrix} -2 & -4 & 3 \\ -5 & 2 & -4 \end{bmatrix}} $$.

• شروط التساوي والضرب في عدد: يساعدك على ترسيخ مفاهيم هذا المحور من الدرس.
• خصائص الجمع والطرح والضرب: يساعدك على ترسيخ مفاهيم هذا المحور من الدرس.
• ربط المفهوم بقاعدته: يساعدك على ترسيخ مفاهيم هذا المحور من الدرس.
• تطبيقات حسابية على العمليات: يساعدك على ترسيخ مفاهيم هذا المحور من الدرس.