📚 مقدمة: من أين أتت المحددات؟

ظهرت فكرة المحددات أساساً للمساعدة في حل المعادلات الخطية الآنية (نظام من معادلات خطية). على سبيل المثال، عند البحث عن نقطة تقاطع مستقيمين (أي إيجاد قيم $\ar{s}$ و $\ar{y}$ التي تحقق المعادلتين في نفس الوقت):

$$ \ar{a_1 s + b_1 y = c_1} \quad \text{(i)} $$ $$ \ar{a_2 s + b_2 y = c_2} \quad \text{(ii)} $$

باستخدام طرق حل المعادلات (مثل الحذف بالضرب والجمع)، نصل إلى الحلول التالية لـ $\ar{s}$ و $\ar{y}$:

$$ \ar{s = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}} $$ $$ \ar{y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}} $$

لاحظ أن مقام الكسرين هو نفس المقدار: $\ar{a_1 b_2 - a_2 b_1}$. هذا المقدار هو مفتاح الحل ويعتمد فقط على معاملات $\ar{s}$ و $\ar{y}$ في المعادلتين الأصليتين.

💡 تعريف محدد الرتبة الثانية

يُكتب المقدار $\ar{a_1 b_2 - a_2 b_1}$ بشكل رمزي ومختصر باستخدام خطين رأسيين كالتالي:

$$ \ar{ \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| = a_1 b_2 - a_2 b_1 } $$

يُسمى هذا الرمز محدد من الرتبة الثانية لأنه يحتوي على صفين (أفقيين) و عمودين (رأسيين).

• تُسمى الكميات $\ar{a_1, b_1, a_2, b_2}$ عناصر المحدد.
• العناصر $\ar{a_1, b_2}$ تقع على القطر الرئيسي.
• العناصر $\ar{b_1, a_2}$ تقع على القطر الثانوي (أو غير الرئيسي).

قيمة المحدد تُحسب بضرب عنصري القطر الرئيسي وطرح حاصل ضرب عنصري القطر الثانوي منه.

شرط وجود حل وحيد: لكي يكون للمعادلتين (i) و (ii) حل وحيد لـ $\ar{s}$ و $\ar{y}$، يجب أن يكون المقام لا يساوي صفراً، أي أن قيمة المحدد يجب ألا تساوي صفراً ($\ar{a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0}$).

🔄 كيفية حساب قيمة المحدد من الرتبة الثانية

لحساب قيمة المحدد: $\ar{\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|}$

1. اضرب عنصري القطر الرئيسي: $\ar{a \times d}$.
2. اضرب عنصري القطر الثانوي: $\ar{b \times c}$.
3. اطرح الناتج الثاني من الناتج الأول: $\ar{a d - b c}$.

مثال:

$$ \ar{ \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & -4 \end{matrix} \right| = (3 \times -4) - (2 \times 7) = -12 - 14 = -26 } $$

مثال آخر:

$$ \ar{ \left| \begin{matrix} \sec\theta & \tan\theta \\ \tan\theta & \sec\theta \end{matrix} \right| = (\sec\theta \times \sec\theta) - (\tan\theta \times \tan\theta) } $$ $$ \ar{ = \sec^2\theta - \tan^2\theta } $$

بما أن $\ar{1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta}$، فإن $\ar{\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1}$.
إذن، قيمة المحدد = 1.

🧩 حل المعادلات التي تتضمن المحددات

في بعض الأحيان، قد تحتوي عناصر المحدد على متغيرات (مثل $\ar{s}$)، وتُعطى معادلة يكون فيها قيمة محدد (أو مجموع/فرق محددات) مساوية لقيمة معينة.

الفكرة الأساسية للحل:

• فك المحددات: قم بحساب قيمة كل محدد في المعادلة باستخدام قاعدة (القطر الرئيسي - القطر الثانوي). سينتج عن ذلك تعابير جبرية تحتوي على المتغير $\ar{s}$.
• تكوين المعادلة: استبدل كل محدد بقيمته الجبرية التي حصلت عليها لتكوين معادلة جبرية عادية.
• حل المعادلة: قم بحل المعادلة الجبرية الناتجة بالطرق المعتادة لإيجاد قيمة المتغير.