📚 مقدمة
بعد أن تعرفنا على الشكل العام للمصفوفة وكيفية تحديد رتبتها وترميز عناصرها في الدرس السابق، سنتناول الآن بعض المفاهيم والأنواع الأساسية للمصفوفات.
1. المصفوفة الحقيقية (Real Matrix)
التعريف: هي مصفوفة تكون جميع عناصرها أعداداً حقيقية. (معظم المصفوفات التي سنتعامل معها في هذا المقرر هي مصفوفات حقيقية).
2. المصفوفة المربعة (Square Matrix)
التعريف: هي مصفوفة يتساوى فيها عدد الصفوف ($\ar{m}$) مع عدد الأعمدة ($\ar{n}$)، أي $\ar{m = n}$.
الرتبة: تكون رتبتها $\ar{n \times n}$.
الأقطار: المصفوفة المربعة لها قطران:
- القطر الرئيسي: يتكون من العناصر التي يقع رقم صفها مساوياً لرقم عمودها ($\ar{a_{rd}}$ حيث $\ar{r = d}$). يمتد بصرياً من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار في سياق الكتابة العربية.
- القطر غير الرئيسي (الثانوي): يتكون من العناصر الأخرى. يمتد بصرياً من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين في سياق الكتابة العربية.
3. مصفوفة الصف (Row Matrix)
التعريف: هي مصفوفة تتكون من صف واحد فقط ($\ar{m = 1}$) وأي عدد من الأعمدة ($\ar{n \ge 1}$).
مثال: $\ar{\left[ \begin{matrix} 5 & -2 & 4 \end{matrix} \right]}$ هي مصفوفة صف من الرتبة $\ar{1 \times 3}$.
4. مصفوفة العمود (Column Matrix)
التعريف: هي مصفوفة تتكون من عمود واحد فقط ($\ar{n = 1}$) وأي عدد من الصفوف ($\ar{m \ge 1}$).
مثال: $\ar{\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right]}$ هي مصفوفة عمود من الرتبة $\ar{3 \times 1}$.
5. المصفوفة الصفرية (Zero Matrix)
التعريف: هي مصفوفة تكون جميع عناصرها أصفاراً.
الرمز: يُرمز لها عادة بالرمز $\ar{0}$.
مثال: $\ar{\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]}$ مصفوفة صفرية $\ar{2 \times 3}$.
6. المصفوفة القطرية (Diagonal Matrix)
التعريف: هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها الواقعة خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر. عناصر القطر الرئيسي يمكن أن تكون أي قيمة.
مثال: $\ar{\left[ \begin{matrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right]}$
7. مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)
التعريف: هي حالة خاصة من المصفوفة القطرية، حيث تكون مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي الواحد الصحيح (1)، وبقية العناصر أصفاراً.
الرمز: يُرمز لها عادة بالرمز $\ar{I}$ أو $\ar{\transt{m}{م}}$.
مثال: $\ar{I_2 = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]}$