📚 مقدمة
بعد أن تعرفنا على أنواع المصفوفات المختلفة، سنتعلم الآن كيف نُجري بعض العمليات الأساسية عليها، مثل التحقق من تساوي مصفوفتين، ضرب مصفوفة في عدد، وجمع وطرح المصفوفات.
1. تساوي مصفوفتين (Equality of Matrices)
الشرط: تكون المصفوفتان $\ar{\transt{f}{ف}_1}$ و $\ar{\transt{f}{ف}_2}$ متساويتين إذا وفقط إذا تحقق شرطان معاً:
- لهما نفس الرتبة (النوع): يجب أن يكون عدد صفوف $\ar{\transt{f}{ف}_1}$ مساوياً لعدد صفوف $\ar{\transt{f}{ف}_2}$، وعدد أعمدة $\ar{\transt{f}{ف}_1}$ مساوياً لعدد أعمدة $\ar{\transt{f}{ف}_2}$.
- العناصر المتناظرة متساوية: كل عنصر في المصفوفة $\ar{\transt{f}{ف}_1}$ يجب أن يساوي العنصر الموجود في نفس الموقع (نفس الصف ونفس العمود) في المصفوفة $\ar{\transt{f}{ف}_2}$.
بالرموز: إذا كانت $\ar{\transt{f}{ف}_1 = [a_{r\transt{d}{د}}]}$ و $\ar{\transt{f}{ف}_2 = [b_{r\transt{d}{د}}]}$ وكلتاهما من الرتبة $\ar{m \times n}$، فإن $\ar{\transt{f}{ف}_1 = \transt{f}{ف}_2}$ إذا وفقط إذا كان $\ar{a_{r\transt{d}{د}} = b_{r\transt{d}{د}}}$ لكل قيم $\ar{r}$ و $\ar{\transt{d}{د}}$.
2. ضرب مصفوفة في عدد حقيقي (Scalar Multiplication)
القاعدة: عند ضرب مصفوفة $\ar{\transt{a}{أ}}$ في عدد حقيقي $\ar{k}$ (يُسمى عدداً قياسياً أو سلمياً Scalar)، فإننا نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة $\ar{\transt{a}{أ}}$ في العدد $\ar{k}$.
الناتج: المصفوفة الناتجة $\ar{k\transt{a}{أ}}$ تكون لها نفس رتبة المصفوفة الأصلية $\ar{\transt{a}{أ}}$.
بالرموز: إذا كانت $\ar{\transt{a}{أ} = [a_{r\transt{d}{د}}]}$، فإن $\ar{k\transt{a}{أ} = [k \times a_{r\transt{d}{د}}]}$
3. جمع وطرح المصفوفات (Addition and Subtraction)
الشرط: لكي نتمكن من جمع أو طرح مصفوفتين $\ar{\transt{a}{أ}}$ و $\ar{\transt{b}{ب}}$، يجب أن تكونا من نفس الرتبة (النوع). لا يمكن جمع أو طرح مصفوفتين مختلفتي الرتبة.
القاعدة: إذا تحقق شرط تساوي الرتبة، فإن عملية الجمع (أو الطرح) تتم بجمع (أو طرح) كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين.
بالرموز: إذا كانت $\ar{\transt{a}{أ} = [a_{r\transt{d}{د}}]}$ و $\ar{\transt{b}{ب} = [b_{r\transt{d}{د}}]}$ من الرتبة $\ar{m \times n}$، فإن:
- $\ar{\transt{a}{أ} + \transt{b}{ب} = [a_{r\transt{d}{د}} + b_{r\transt{d}{د}}]}$
- $\ar{\transt{a}{أ} - \transt{b}{ب} = [a_{r\transt{d}{د}} - b_{r\transt{d}{د}}]}$
خواص هامة:
- عملية الجمع إبدالية: $\ar{\transt{a}{أ} + \transt{b}{ب} = \transt{b}{ب} + \transt{a}{أ}}$.
- عملية الطرح ليست إبدالية: $\ar{\transt{a}{أ} - \transt{b}{ب} \neq \transt{b}{ب} - \transt{a}{أ}}$.
4. المعكوس الجمعي للمصفوفة (Additive Inverse)
التعريف: المعكوس الجمعي لمصفوفة $\ar{\transt{a}{أ}}$ هو مصفوفة (نرمز لها $\ar{-\transt{a}{أ}}$) بحيث يكون مجموعهما يساوي المصفوفة الصفرية ($\ar{0}$) من نفس الرتبة. أي $\ar{\transt{a}{أ} + (-\transt{a}{أ}) = 0}$.
كيفية الحصول عليه: المعكوس الجمعي للمصفوفة $\ar{-\transt{a}{أ}}$ هو ببساطة المصفوفة التي عناصرها هي سالب (معكوس جمعي) عناصر المصفوفة $\ar{\transt{a}{أ}}$ الأصلية. أي أن $\ar{-\transt{a}{أ} = (-1) \times \transt{a}{أ}}$.