📚 1. الصورة العامة للمصفوفة

في الدرس السابق، تعرفنا على المصفوفة كطريقة لتنظيم البيانات في صفوف وأعمدة. الآن، سننظر إلى الشكل العام وكيفية وصف حجم المصفوفة وتحديد عناصرها بدقة.

الشكل العام: يمكن كتابة مصفوفة (نسميها مثلاً $\ar{\transt{f}{ف}}$) تتكون من $\ar{‎m}$ من الصفوف و $\ar{‎n}$ من الأعمدة على النحو التالي:

$$ \ar{ \transt{f}{ف} = \left[ \begin{matrix} ‎a_{11} & ‎a_{12} & \dots & ‎a_{1n} \\ ‎a_{21} & ‎a_{22} & \dots & ‎a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ‎a_{m1} & ‎a_{m2} & \dots & ‎a_{mn} \end{matrix} \right] } $$

• $\ar{‎m}$: يمثل عدد الصفوف (الأفقية).
• $\ar{‎n}$: يمثل عدد الأعمدة (الرأسية).

رتبة (أو نوع) المصفوفة (Order/Type): يُقال إن المصفوفة $\ar{\transt{f}{ف}}$ من الرتبة (أو النوع) $\ar{‎m \times ‎n}$ (تُقرأ "م في ن"). نكتب عدد الصفوف أولاً ثم عدد الأعمدة.

مثال: المصفوفة $\ar{\left[ \begin{matrix} 13 & 35 & 40 \\ 15 & 23 & 36 \\ 10 & 30 & 45 \end{matrix} \right]}$ من الدرس السابق تحتوي على 3 صفوف و 3 أعمدة، إذن هي مصفوفة من الرتبة $\ar{3 \times 3}$.

مثال آخر: المصفوفة $\ar{\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right]}$ تحتوي على صفين و 3 أعمدة، إذن هي مصفوفة من الرتبة $\ar{2 \times 3}$.

🏷️ 2. ترميز موقع العنصر

لتحديد موقع أي عنصر داخل المصفوفة بدقة، نستخدم دليلين سفليين مع اسم العنصر (عادةً نستخدم نفس الحرف الصغير المقابل لاسم المصفوفة الكبير).

الترميز: العنصر الذي يقع في الصف $\ar{r}$ و العمود $\ar{\transt{d}{د}}$ للمصفوفة $\ar{\transt{f}{ف}}$ يُكتب $\ar{‎a_{r \transt{d}{د}}}$.

• $\ar{r}$: رقم الصف (يأخذ قيماً من 1 إلى $\ar{‎m}$).
• $\ar{\transt{d}{د}}$: رقم العمود (يأخذ قيماً من 1 إلى $\ar{‎n}$).

أمثلة على الترميز:

• $\ar{‎a_{11}}$: العنصر في الصف الأول، العمود الأول.
• $\ar{‎a_{12}}$: العنصر في الصف الأول، العمود الثاني.
• $\ar{‎a_{21}}$: العنصر في الصف الثاني، العمود الأول.
• $\ar{‎a_{32}}$: العنصر في الصف الثالث، العمود الثاني (إذا كانت المصفوفة تحتوي على 3 صفوف على الأقل).

الصيغة المختصرة للمصفوفة: باستخدام هذا الترميز، يمكن كتابة المصفوفة $\ar{\transt{f}{ف}}$ من الرتبة $\ar{‎m \times ‎n}$ بشكل مختصر كالتالي:

$$ \ar{\transt{f}{ف} = [‎a_{r \transt{d}{د}}] \text{ حيث } r = 1, 2, \dots, ‎m \text{ و } \transt{d}{د} = 1, 2, \dots, ‎n} $$

أحياناً تُكتب الرتبة أيضاً: $\ar{\transt{f}{ف} = [‎a_{r \transt{d}{د}}]_{\textstyle ‎m \times ‎n}}$.