📚 مقدمة
بعد أن تعلمنا كيفية حساب قيمة المحددات، سنتعرف الآن على بعض الخواص الهامة التي تسهل علينا التعامل معها وحساب قيمتها، وأحياناً تمكننا من معرفة القيمة دون الحاجة إلى فك المحدد بالكامل.
🔄 1. خاصية تبديل الصفوف بالأعمدة (التدوير)
النص: لا تتغير قيمة المحدد إذا بُدلت صفوفه بأعمدته وأعمدته بصفوفه بنفس الترتيب.
مثال:
$$ \ar{\Delta_1 = \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc} $$
$$ \ar{\Delta_2 = \left| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right| = ad - cb} $$
نلاحظ أن $\ar{\Delta_1 = \Delta_2}$.
الفائدة: أي خاصية تنطبق على صفوف المحدد، تنطبق أيضاً على أعمدته.
↔️ 2. خاصية تبديل صفين أو عمودين
النص: إذا تم تبديل موضع صفين (أو عمودين) في المحدد، فإن قيمة المحدد الجديد تساوي قيمة المحدد الأصلي مضروبة في $\ar{-1}$ (تتغير الإشارة).
مثال: إذا بدلنا الصف الأول بالثاني:
$$ \ar{\Delta_2 = \left| \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} \right| = cb - da = -(ad - bc) = -\Delta_1} $$
0️⃣ 3. خاصية انعدام قيمة المحدد ($\ar{\Delta = 0}$)
تنعدم قيمة المحدد في الحالات التالية:
- أ) وجود صف أو عمود جميع عناصره أصفار:
مثال: $\ar{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ d & e & \transt{w}{و} \end{matrix} \right| = 0}$ - ب) تساوي عناصر صفين متناظرين (أو عمودين):
مثال: $\ar{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ a & b & c \\ d & e & \transt{w}{و} \end{matrix} \right| = 0}$ - ج) وجود تناسب بين عناصر صفين (أو عمودين):
مثال: $\ar{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ ka & kb & kc \\ d & e & \transt{w}{و} \end{matrix} \right| = 0}$
✖️ 4. خاصية ضرب المحدد في عدد ثابت ($\ar{k}$)
النص: عند ضرب صف واحد (أو عمود واحد) فقط في عدد ثابت $\ar{k}$، فإن قيمة المحدد الجديد تساوي $\ar{k}$ مضروبة في قيمة المحدد الأصلي.
ملاحظة هامة: ضرب المحدد في عدد ثابت يختلف عن ضرب المصفوفات. في المصفوفات نضرب جميع العناصر، أما في المحددات نضرب صفاً واحداً أو عموداً واحداً فقط.
➕ 5. خاصية توزيع المحدد
إذا كانت عناصر صف (أو عمود) عبارة عن مجموع حدين، يمكن كتابة المحدد كمجموع محددين.
$$ \ar{\left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ d_1+e_1 & d_2+e_2 & d_3+e_3 \\ \transt{w}{و}_1 & \transt{w}{و}_2 & \transt{w}{و}_3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \transt{w}{و}_1 & \transt{w}{و}_2 & \transt{w}{و}_3 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ e_1 & e_2 & e_3 \\ \transt{w}{و}_1 & \transt{w}{و}_2 & \transt{w}{و}_3 \end{matrix} \right|} $$