🤔 ما هو "التحليل"؟ (مقدمة عامة)
في الدروس السابقة (1-1 إلى 1-4)، ركزنا على عملية "إيجاد المفكوك" (Expansion). كانت هذه العملية تتعلق بـ "فك الأقواس" وتحويل المقادير من صيغة ضرب (مثل $\ar{2(s + 3)}$) إلى صيغة جمع وطرح (مثل $\ar{2s + 6}$).
الآن، سنبدأ في العملية المعاكسة تماماً، وهي "التحليل" (Factorisation).
التحليل هو عملية "تفكيك" المقدار الجبري وإرجاعه إلى "عوامله" الأولية، أي كتابته في صورة حاصل ضرب أقواس أو حدود.
التحليل هو عكس المفكوك:
- المفكوك: $\ar{2(s + 3) \rightarrow 2s + 6}$ (تحويل الضرب إلى جمع)
- التحليل: $\ar{2s + 6 \rightarrow 2(s + 3)}$ (تحويل الجمع إلى ضرب)
1️⃣ (الجزء الأول): التحليل بإخراج العامل المشترك الأعلى (ع.م.أ)
هذا هو النوع الأول والأهم من التحليل، وهو الخطوة الأولى التي يجب أن تفكر فيها دائماً قبل تجربة أي طريقة تحليل أخرى.
كيف نحلل بإخراج (ع.م.أ)؟
- ابحث عن (ع.م.أ): انظر إلى جميع الحدود في المقدار (مثل $\ar{4s + 8}$)، وابحث عن "العامل المشترك الأعلى" (ع.م.أ) بينها. في $\ar{4s + 8}$، العامل المشترك الأعلى هو 4.
- "اسحب" العامل المشترك: نضع هذا العامل (ع.م.أ) خارج قوس جديد. $\ar{4(\dots)}$
- املأ القوس (بمجرد النظر): نفكر: ما الذي نضربه في 4 ليعطينا $\ar{4s}$؟ (يتبقى $\ar{s}$). وما الذي نضربه في 4 ليعطينا +8؟ (يتبقى +2).
- الناتج: نضع ما تبقى داخل القوس. $\ar{4(s + 2)}$
(للتحقق، يمكنك فك المفكوك: $\ar{4(s + 2) = 4s + 8}$. رجعنا للأصل إذن الحل صحيح).
🚩 نقاط هامة يجب الانتباه لها:
تحليل الإشارة السالبة: إذا كان الحد الأول في المقدار سالباً (مثل $\ar{-3m - 12}$)، فمن الأفضل دائماً إخراج العامل المشترك بإشارته السالبة (أي نخرج -3 وليس 3).
تنبيه: إخراج عامل سالب "يقلب" إشارات جميع الحدود داخل القوس. $\ar{-3m - 12 = -3(m + 4)}$
العامل المشترك قد يكون قوساً كاملاً: مثال: $\ar{s(s + 2) + 3(s + 2)}$. العامل المشترك هو $\ar{(s + 2)}$. الناتج: $\ar{(s + 2)(s + 3)}$.
🧩 (الجزء الثاني): التحليل بالتجميع
متى نستخدمه؟ نستخدمه غالباً عندما يتكون المقدار الجبري من أربعة حدود (مثل $\ar{as + ay + bs + by}$)، ولا يوجد عامل مشترك "واحد" بين الحدود الأربعة كلها.
كيف نحلل بالتجميع؟
- قسّم: نقسم المقدار إلى مجموعتين (كل مجموعة من حدين). $\ar{(as + ay) + (bs + by)}$
- حلل كل مجموعة: نخرج (ع.م.أ) من كل مجموعة على حدة. $\ar{a(s + y) + b(s + y)}$
- الخطوة النهائية: سيظهر لك "قوس مشترك" ($\ar{(s + y)}$). نخرجه كعامل مشترك. $\ar{(s + y)(a + b)}$
🚩 نقطة خطأ شائعة (إعادة الترتيب): أحياناً قد لا ينجح التجميع من أول مرة. إذا لم يظهر "قوس مشترك"، جرب إعادة ترتيب الحدود ثم حاول التحليل مرة أخرى.
📝 (الجزء الثالث): تحليل المقادير التربيعية الثلاثية
الشكل العام: هو المقدار الذي على صورة $\ar{as^2 + bs + c}$ (مثل $\ar{s^2 + 7s + 12}$).
الهدف: هو عكس عملية "فك القوسين". نريد إرجاع $\ar{s^2 + 7s + 12}$ إلى $\ar{(s + 3)(s + 4)}$.
كيف نحلل المقدار الثلاثي؟
الحالة (أ): عندما $\ar{a = 1}$ (مثل $\ar{s^2 + 7s + 12}$)
هذا يبسط العملية: نحن نبحث عن عددين $\ar{m}$ و $\ar{n}$ مجموعهما = $\ar{b}$ (الحد الأوسط) وحاصل ضربهما = $\ar{c}$ (الحد الأخير).
الحالة (ب): عندما $\ar{a \neq 1}$ (مثل $\ar{2s^2 + 7s + 3}$)
هنا يجب تجريب عوامل $\ar{a}$ وعوامل $\ar{c}$، والتحقق دائماً بجمع "الطرفين والوسطين" حتى نحصل على الحد الأوسط $\ar{b}$.
⏹️ (الجزء الرابع): تحليل الفرق بين مربعين
متى نستخدمه؟ هذه حالة خاصة جداً. نستخدمها فقط إذا تحققت 3 شروط:
- المقدار يتكون من حدين فقط.
- العملية بينهما طرح (فرق).
- كلا الحدين مربع كامل.
القاعدة (عكس الدرس 1-2): $\ar{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}$
مثال: $\ar{s^2 - 9 = (s - 3)(s + 3)}$
🚩 تنبيه: $\ar{a^2 + b^2}$ (مجموع المربعين) لا يمكن تحليله في هذه المرحلة.
🧊 (الجزء الخامس): تحليل مجموع وفرق المكعبين
متى نستخدمه؟ حالة خاصة أخرى. نستخدمها إذا تحققت 3 شروط:
- المقدار يتكون من حدين فقط.
- العملية بينهما جمع (مجموع) أو طرح (فرق).
- كلا الحدين مكعب كامل.
$\ar{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
$\ar{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
كيف نحلل؟
- القوس الصغير (حدين): (الجذر التكعيبي للأول)، (الجذر التكعيبي للثاني)، (نفس الإشارة).
- القوس الكبير (ثلاثة حدود): (مربع الأول)، (عكس الإشارة)، (الأول × الثاني)، (+ مربع الثاني).
مثال (فرق): $\ar{s^3 - 8 = (s - 2)(s^2 + 2s + 4)}$
مثال (مجموع): $\ar{s^3 + 8 = (s + 2)(s^2 - 2s + 4)}$