1- إذا كانت مساحة السطح المنحني لمخروط $\ar{175\pi}$ سم² وطول نصف قطر قاعدته 7 سم فإن طول راسمه = 25 سم شرح السؤال تذكر صيغة حساب مساحة السطح المنحني للمخروط: مساحة السطح المنحني = $\ar{\pi \times \radius \times l}$ حيث: $\ar{\radius}$ هو نصف قطر قاعدة المخروط. $\ar{l}$ هو طول راسم المخروط. لديك قيمة مساحة السطح المنحني ($\ar{175\pi}$ سم²) وقيمة نصف القطر (7 سم). عوض بهذه القيم في الصيغة وحاول إيجاد قيمة $\ar{l}$ (طول الراسم). هل ستكون 25 سم؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. المعطيات في السؤال هي: مساحة السطح المنحني للمخروط = $\ar{175\pi}$ سم² طول نصف قطر قاعدته ($\ar{\radius}$) = 7 سم المطلوب التحقق مما إذا كان طول راسمه ($\ar{l}$) = 25 سم. نستخدم صيغة مساحة السطح المنحني للمخروط: مساحة السطح المنحني = $\ar{\pi \times \radius \times l}$ نعوض بالقيم المعطاة في الصيغة: $\ar{175\pi = \pi \times 7 \times l}$ لإيجاد قيمة $\ar{l}$، يمكننا قسمة الطرفين على $\ar{\pi}$ وعلى 7: أولاً، نقسم الطرفين على $\ar{\pi}$ (بما أن $\ar{\pi \neq 0}$): $\ar{175 = 7 \times l}$ ثانياً، نقسم الطرفين على 7: $\ar{l = \frac{175}{7}}$ $\ar{l = 25}$ سم. النتيجة التي حصلنا عليها لطول الراسم ($\ar{l = 25}$ سم) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال. إذن، العبارة "فإن طول راسمه = 25 سم" هي عبارة صحيحة. لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح. للتفكير: إذا كان طول الراسم 10 سم ونصف قطر القاعدة 5 سم، فما هي مساحة السطح المنحني للمخروط؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 4-5 المخروط، الفقرة 1-4-5 مساحة السطح المنحني للمخروط، صفحة 114. المثال 14 في صفحة 115 يوضح كيفية حساب المساحة الكلية ولكن يمكن تطبيق نفس مبدأ صيغة السطح المنحني.)
2- إذا كان طول القوس : محيط الدائرة = 1 : 3 فإن قياس الزاوية المركزية $\ar{\theta = 120^\circ}$ شرح السؤال تذكر العلاقة بين نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة ونسبة قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس إلى مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول مركز الدائرة (وهو $\ar{360^\circ}$). العلاقة هي: $\ar{\frac{\transt{}{طول القوس}}{\transt{}{محيط الدائرة}} = \frac{\theta}{360^\circ}}$ لديك النسبة بين طول القوس ومحيط الدائرة (1 : 3). استخدم هذه النسبة لإيجاد قيمة $\ar{\theta}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. العلاقة الأساسية التي تربط طول القوس بالزاوية المركزية هي: $\ar{\frac{\transt{}{طول القوس}}{\transt{}{محيط الدائرة}} = \frac{\theta}{360^\circ}}$ حيث $\ar{\theta}$ هي قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس بالدرجات. معطى في السؤال أن النسبة "طول القوس : محيط الدائرة = 1 : 3". هذا يعني أن: $\ar{\frac{\transt{}{طول القوس}}{\transt{}{محيط الدائرة}} = \frac{1}{3}}$ الآن نساوي بين النسبتين: $\ar{\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{1}{3}}$ لإيجاد قيمة $\ar{\theta}$، نضرب الطرفين في $\ar{360^\circ}$: $\ar{\theta = \frac{1}{3} \times 360^\circ}$ $\ar{\theta = 120^\circ}$ النتيجة التي حصلنا عليها لقياس الزاوية المركزية ($\ar{\theta = 120^\circ}$) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال. إذن، العبارة "فإن قياس الزاوية المركزية $\ar{\theta = 120^\circ}$" هي عبارة صحيحة. لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح. للتفكير: إذا كان قياس الزاوية المركزية 90 درجة، فما هي النسبة بين طول القوس المقابل لها ومحيط الدائرة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 1-5 طول القوس، صفحة 99-100. العلاقة الأساسية مشروحة ومستخدمة في الأمثلة.)
3- في الشكل التالي: مساحة الجزء المظلل = 28 سم² شرح السؤال لحساب مساحة الجزء المظلل، احسب أولاً مساحة ربع الدائرة، ثم احسب مساحة المثلث القائم الزاوية الموجود بداخلها. مساحة الجزء المظلل هي الفرق بين هاتين المساحتين. استخدم $\ar{\pi \approx \frac{22}{7}}$. هل سيكون الناتج 28 سم²؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ. لإيجاد مساحة الجزء المظلل في الشكل المعطى، نتبع الخطوات التالية: 1. حساب مساحة ربع الدائرة: نصف قطر الدائرة ($\ar{\radius}$) من الشكل = 7 سم. الزاوية المركزية لربع الدائرة هي 90 درجة. مساحة ربع الدائرة = $\ar{\frac{1}{4} \times \pi \times \radius^2}$ باستخدام $\ar{\pi \approx \frac{22}{7}}$: مساحة ربع الدائرة = $\ar{\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7}$ مساحة ربع الدائرة = $\ar{\frac{1}{4} \times 22 \times 7}$ سم² مساحة ربع الدائرة = $\ar{\frac{1}{4} \times 154 = 38.5}$ سم² 2. حساب مساحة المثلث القائم الزاوية: قاعدة المثلث = 7 سم (نصف القطر). ارتفاع المثلث = 7 سم (نصف القطر الآخر). مساحة المثلث = $\ar{\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}$ مساحة المثلث = $\ar{\frac{1}{2} \times 7 \times 7}$ سم² مساحة المثلث = $\ar{\frac{1}{2} \times 49 = 24.5}$ سم² 3. حساب مساحة الجزء المظلل: مساحة الجزء المظلل = مساحة ربع الدائرة - مساحة المثلث مساحة الجزء المظلل = $\ar{38.5 - 24.5}$ سم² مساحة الجزء المظلل = 14 سم² السؤال يقول أن "مساحة الجزء المظلل = 28 سم²". بمقارنة ناتجنا (14 سم²) بالعبارة المعطاة في السؤال (28 سم²)، نجد أنهما غير متطابقين. إذن، العبارة المعطاة في السؤال خاطئة. للتفكير: ما هي مساحة الجزء غير المظلل داخل ربع الدائرة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 2-5 مساحة القطاع الدائري، صفحة 103 وما بعدها. هذا النوع من المسائل يتطلب حساب مساحة القطاع الدائري (هنا ربع دائرة) ومساحة المثلث ثم إيجاد الفرق بينهما. المثال 9 في صفحة 107 يعالج شكلاً مشابهاً.)
4- $\ar{\frac{\transt{}{مساحة القطاع}}{\dots\dots\dots\dots} = \frac{\theta}{360^\circ}}$ شرح السؤال العلاقة المعطاة تربط بين نسبة مساحة القطاع إلى "شيء ما" بنسبة زاوية القطاع ($\ar{\theta}$) إلى الزاوية الكاملة للدائرة ($\ar{360^\circ}$). فكر، ما هو "الشيء" الذي إذا قسمنا مساحة القطاع عليه، تعطينا هذه النسبة؟ إنه يمثل المساحة الكلية التي يُقتطع منها القطاع. تذكر صيغة مساحة الدائرة الكاملة، مع اعتبار أن "$\ar{\radius}$" تمثل نصف القطر. $\ar{\pi \radius^2}$ $\ar{\pi \radius}$ $\ar{2\pi \radius}$ $\ar{4\pi \radius^2}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\pi \radius^2}$ العلاقة الأساسية لحساب مساحة القطاع الدائري هي أن نسبة مساحة القطاع إلى مساحة الدائرة الكاملة تساوي نسبة زاوية القطاع المركزية ($\ar{\theta}$) إلى مجموع الزوايا حول مركز الدائرة ($\ar{360^\circ}$). تُكتب هذه العلاقة كالتالي: $\ar{\frac{\transt{}{مساحة القطاع}}{\transt{}{مساحة الدائرة}} = \frac{\theta}{360^\circ}}$ صيغة مساحة الدائرة هي $\ar{\pi \times (\transt{}{نصف القطر})^2}$. في هذا السؤال، الرمز المستخدم لنصف القطر هو "$\ar{\radius}$". إذن، مساحة الدائرة = $\ar{\pi \radius^2}$. بالتالي، الجزء الناقص في المقام في المعادلة المعطاة في السؤال هو مساحة الدائرة، أي $\ar{\pi \radius^2}$. دعنا نتفحص الخيارات الأخرى: $\ar{\pi \radius}$: هذا يمثل $\ar{\pi}$ مضروباً في نصف القطر، وهي ليست صيغة مساحة. $\ar{2\pi \radius}$: هذا يمثل $\ar{2 \times \pi \times \transt{}{نصف القطر}}$، وهي صيغة محيط الدائرة، وليست مساحتها. $\ar{4\pi \radius^2}$: هذا يمثل أربعة أضعاف مساحة الدائرة (أو مساحة سطح الكرة). إذن، الخيار الصحيح الذي يكمل المعادلة هو $\ar{\pi \radius^2}$. للتفكير: إذا كانت $\ar{\theta = 90^\circ}$ (ربع دائرة)، كيف تصبح صيغة مساحة القطاع باستخدام هذه العلاقة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 2-5 مساحة القطاع الدائري، صفحة 104، النشاط الاستقصائي وجدول التعميم يؤديان إلى هذه العلاقة.)
