الإجابة الصحيحة (صح).

لحل المعادلتين الآنيتين:

1) $\ar{5x - 3y = 6}$

2) $\ar{5x - 4y = 8}$

بطريقة معادلة المقادير، نجعل المقدار $\ar{5x}$ هو موضوع الصيغة في كلتا المعادلتين:

من المعادلة (1): $\ar{5x = 6 + 3y}$

من المعادلة (2): $\ar{5x = 8 + 4y}$

بما أن الطرف الأيمن في المعادلتين متساوٍ (كلاهما يساوي $\ar{5x}$)، فإننا نساوي الطرفين الأيسرين:

$\ar{6 + 3y = 8 + 4y}$

العبارة المعطاة في السؤال هي "$\ar{8 + 4y = 6 + 3y}$". هذه العبارة مطابقة لما توصلنا إليه (بإعادة ترتيب طرفي المساواة).

للتفكير: ما هي الخطوة التالية لحل هاتين المعادلتين وإيجاد قيم $\ar{x}$ وَ $\ar{y}$؟ حاول إكمال الحل.

(الفصل 4 المعادلات الآنية، الدرس 4-2 الطريقة الجبرية لحل المعادلتين الآنيتين، الفقرة 4-2-1 طريقة معادلة المقادير، صفحة 82)

الإجابة الصحيحة $\ar{(3, 1)}$.

لدينا المعادلتان:

1) $\ar{2x + y = 7}$

2) $\ar{x + y = 4}$

يمكننا استخدام طريقة الحذف بطرح المعادلة (2) من المعادلة (1):

$\ar{(2x + y) - (x + y) = 7 - 4}$

$\ar{2x + y - x - y = 3}$

$\ar{x = 3}$

الآن نعوض بقيمة $\ar{x = 3}$ في المعادلة (2) (أو المعادلة 1):

$\ar{3 + y = 4}$

$\ar{y = 4 - 3}$

$\ar{y = 1}$

إذن، نقطة التقاطع هي $\ar{(3, 1)}$.

لماذا الخيارات الأخرى غير صحيحة (بالتعويض في كلتا المعادلتين):

• النقطة $\ar{(1, 3)}$: في (1): $\ar{2(1)+3 = 5 \neq 7}$.
• النقطة $\ar{(2, 3)}$: في (1): $\ar{2(2)+3 = 7}$. في (2): $\ar{2+3 = 5 \neq 4}$.
• النقطة $\ar{(3, 2)}$: في (1): $\ar{2(3)+2 = 8 \neq 7}$.

للتأكد: هل يمكن حل هذا الزوج من المعادلات بطريقة التعويض؟ جرب ذلك.

(الفصل 4 المعادلات الآنية، الدرس 4-3 التفسير البياني، صفحة 88)

الإجابة الصحيحة (ليس لهما حل).

المعادلة الأولى: $\ar{2x + 2y = 6}$

بقسمة طرفي المعادلة الأولى على 2، نحصل على: $\ar{x + y = 3}$

المعادلة الثانية: $\ar{x + y = 5}$

الآن لدينا نظام من معادلتين مبسطتين:

1) $\ar{x + y = 3}$

2) $\ar{x + y = 5}$

من الواضح أن المقدار $\ar{(x + y)}$ لا يمكن أن يساوي 3 و 5 في نفس الوقت. هذا يعني أن المعادلتين متناقضتان ولا يوجد زوج من القيم $\ar{(x, y)}$ يحقق كلتا المعادلتين في آن واحد.

بيانياً، هاتان المعادلتان تمثلان خطين مستقيمين متوازيين لا يتقاطعان أبداً.

سؤال: كيف سيبدو النظام إذا كان له عدد لا نهائي من الحلول؟ أعط مثالاً.

(الفصل 4 المعادلات الآنية، الدرس 4-3 التفسير البياني، الفقرة 4-3-2 لا حل والحلول اللانهائية، صفحة 91)

الإجابة الصحيحة ($\ar{x = 2}$ ، $\ar{y = 3}$).

لدينا المعادلتان:

1) $\ar{5x + 3y = 19}$

2) $\ar{5x - 3y = 1}$

بجمع المعادلتين (1) و (2) طرفاً لطرف، نحذف المتغير "$\ar{y}$":

$\ar{(5x + 3y) + (5x - 3y) = 19 + 1}$

$\ar{10x = 20}$

$\ar{x = \frac{20}{10}}$

$\ar{x = 2}$

الآن نعوض بقيمة $\ar{x = 2}$ في المعادلة (1) (أو المعادلة 2):

$\ar{5(2) + 3y = 19}$

$\ar{10 + 3y = 19}$

$\ar{3y = 19 - 10}$

$\ar{3y = 9}$

$\ar{y = \frac{9}{3}}$

$\ar{y = 3}$

إذن، الحل هو $\ar{x = 2}$ ، $\ar{y = 3}$.

للتدريب: حل المعادلتين: $\ar{2x - y = 5}$ ، $\ar{x + 2y = 5}$.

(الفصل 4 المعادلات الآنية، الدرس 4-2 الطريقة الجبرية لحل المعادلتين الآنيتين، الفقرة 4-2-3 طريقة الحذف، صفحة 85)