الإجابة الصحيحة: خطأ

1. المفهوم الأساسي:

طريقة معادلة المقادير تتطلب جعل أحد المتغيرات موضوعاً للقانون في كلتا المعادلتين، ومساواة الطرفين الآخرين، مع الالتزام التام بتغيير إشارات الحدود المنقولة.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• من المعادلة الأولى $\ar{ 3y = 2x - 3 }$: نعزل $\ar{ 2x }$ بنقل $\ar{ (-3) }$ للطرف الآخر لتصبح $\ar{ +3 }$، فتكون: $\ar{ 2x = 3y + 3 }$.
• من المعادلة الثانية $\ar{ 5y = 2x + 1 }$: نعزل $\ar{ 2x }$ بنقل $\ar{ (+1) }$ لتصبح $\ar{ -1 }$، فتكون: $\ar{ 2x = 5y - 1 }$.
• بمساواة المقدارين ينتج: $\ar{ 3y + 3 = 5y - 1 }$.
• بينما المعادلة المعطاة في السؤال هي $\ar{ 3y - 3 = 5y - 1 }$؛ الإشارة السليبة للرقم 3 خاطئة.

⚠️ خطأ شائع:

نقل الحدود عبر علامة اليساوي دون تغيير إشارتها من سالب إلى موجب أو العكس، وهو ما يدمر توازن المعادلة الجبرية.

💡 (ميزان العدل)اعرف أكثر:

علامة اليساوي في الرياضيات تشبه الميزان ذو الكفتين؛ إذا أضفت وزناً لكفة، يجب أن تضيف نفس الوزن للكفة الأخرى ليبقى الميزان مستقراً!

(الفصل 4: المعادلات الآنية، الدرس 4-2-1: طريقة معادلة المقادير، ص 82)

الإجابة الصحيحة: $\ar{ 1 }$

1. المفهوم الأساسي:

في (طريقة الحذف)، إذا كان أحد المجاهيل يمتلك نفس المعامل تماماً في كلتا المعادلتين، فلا حاجة للضرب؛ نكتفي بطرح المعادلتين (أو جمعهما حسب الإشارة) لإلغائه فوراً.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• نرتب المعادلتين لتصطف المجاهيل معاً: (1) $\ar{ 5l - 2m = 3 }$ و (2) $\ar{ 5l + 3m = 8 }$.
• نلاحظ تطابق الحد $\ar{ 5l }$. لحذفه، نطرح المعادلة (1) من المعادلة (2):
• $\ar{ (5l + 3m) - (5l - 2m) = 8 - 3 }$.
• بتوزيع إشارة الطرح ينتج: $\ar{ 5m = 5 }$، ومنه $\ar{ m = 1 }$.
• الآن نعوض بقيمة $\ar{ m }$ في المعادلة الأولى لإيجاد المطلوب: $\ar{ 5l = 2(1) + 3 = 5 }$.
• بقسمة الطرفين على $\ar{ 5 }$ نصل إلى $\ar{ l = 1 }$.

⚠️ خطأ شائع:

تعقيد المسألة بضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2 لحذف المتغير $\ar{ m }$ بالطريقة التقليدية الطويلة، وتجاهل وجود $\ar{ 5l }$ الجاهزة للحذف المباشر الأسهل.

💡 توسيع المدارك (قوة الملاحظة):

الخبراء في الرياضيات يطبقون دائماً مبدأ البساطة. لا تبدأ بالخطوات المعقدة فوراً، بل افحص المسألة بحثاً عن اختصارات وأنماط جاهزة توفر وقتك وتقلل من احتمالية الخطأ الحسابي!

( الفصل 4: المعادلات الآنية، الدرس 4-2-3: طريقة الحذف، ص 85)

الإجابة الصحيحة: لهما حل وحيد

1. المفهوم الأساسي:

المستقيمان اللذان يمتلكان معاملات ونسباً مختلفة للمجاهيل (أي غير متوازيين) سيتقاطعان هندسياً في نقطة واحدة محددة حصراً.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• نسبة معاملات $\ar{ x }$ هي $\ar{ \frac{1}{2} }$ ونسبة معاملات $\ar{ y }$ هي $\ar{ \frac{1}{3} }$. النسب غير متساوية، لذا المستقيمان متقاطعان.
• للحل جبرياً نضرب المعادلة الأولى في 2: $\ar{ 2x + 2y = 6 }$.
• نطرحها من المعادلة الثانية $\ar{ (2x + 3y = 5) }$ ينتج: $\ar{ y = -1 }$.
• بالتعويض في المعادلة الأولى $\ar{ x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4 }$.
• يوجد حل واحد دقيق ويقين يتقاطع فيه الخطان وهو الزوج $\ar{ (4, -1) }$.

⚠️ خطأ شائع:

التخمين باختيار (عدد لانهائي من الحلول) دون فحص نسب المعاملات رياضياً أو دون التأكد من أن إحدى المعادلتين ليست مضاعفاً للأخرى.

💡 اعرف أكثر (نقطة التقاطع في الاقتصاد):

في علم الاقتصاد والتجارة، المعادلة الأولى تمثل خط 'العرض' والثانية خط 'الطلب'. نقطة التقاطع (الحل الوحيد) هي النقطة الذهبية التي يتحدد عندها 'سعر السوق' العادل!

(الفصل 4: المعادلات الآنية، الدرس 4-3: التفسير البياني، ص 88)

الإجابة الصحيحة: $\ar{ -1 }$

1. المفهوم الأساسي:

طريقة الحذف في المعادلات الآنية تهدف لإلغاء أحد المتغيرين بالجمع عندما تكون إشارات معاملاته متعاكسة، لتسهيل إيجاد المتغير المتبقي.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• بجمع المعادلتين رأسياً: $\ar{ (x + 2x) + (y - y) = 5 + 4 }$
• ينتج: $\ar{ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 }$
• نعوض بقيمة س في المعادلة الأولى: $\ar{ 3 + y = 5 \Rightarrow y = 2 }$
• المطلوب ليس قيم المجاهيل، بل ناتج $\ar{ y - x }$.
• نعوض: $\ar{ 2 - 3 = -1 }$.

⚠️ خطأ شائع:

التسرع المعتاد بحساب $\ar{ (x - y) }$ بدلاً من $\ar{ (y - x) }$ واختيار الإجابة الموجبة $\ar{ 1 }$، وهو فخ يختبر مدى تركيز الطالب على تفاصيل المطلوب.

💡 اعرف أكثر (أهمية الترتيب):

في الرياضيات والفيزياء، الترتيب في الطرح $\ar{ (y - x) }$ يمثل 'الاتجاه'. تماماً كبطارية السيارة؛ عكس الترتيب (عكس الأقطاب) سيعطيك إشارة سالبة قد توقف النظام عن العمل!

(الفصل 4: المعادلات الآنية، الدرس 4-2-3: طريقة الحذف، ص 85)