الإجابة الصحيحة: خطأ.

لتبسيط الكسر المعطى:

$\ar{\frac{-b + a}{b - a}}$

يمكننا إعادة ترتيب حدود البسط لتصبح $\ar{(a - b)}$.

إذن، الكسر يصبح:

$\ar{\frac{a - b}{b - a}}$

نلاحظ أن البسط $\ar{(a - b)}$ هو معكوس المقام $\ar{(b - a)}$ في الإشارة. يمكننا كتابة $\ar{(b - a)}$ كـ $\ar{-(a - b)}$.

إذن، الكسر يصبح:

$\ar{\frac{a - b}{-(a - b)}}$

بما أن أ $\ar{\neq}$ ب، فإن $\ar{(a - b) \neq 0}$، وبالتالي يمكننا اختصار $\ar{(a - b)}$ من البسط والمقام.

يتبقى لدينا:

$\ar{\frac{1}{-1}}$

وهذا يساوي $\ar{-1}$.

السؤال يقول أن أبسط صورة للكسر هي 1. بما أننا وجدنا أن أبسط صورة هي $\ar{-1}$، فإن العبارة المعطاة في السؤال خاطئة.

لذلك، الخيار "صح" خاطئ.

للتفكير: متى يكون الكسر الجبري مساويًا لـ 1؟ ومتى يكون مساويًا لـ -1؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة، يمكن الاسترشاد بالأمثلة في صفحة 37، المثال 2 (جـ) يشبه هذه الحالة)

الإجابة الصحيحة: صح.

لنتحقق من اختصار الكسر المعطى:

$\ar{\frac{5x + 15y}{x^2 + 6xy + 9y^2}}$

1. تحليل البسط:

البسط هو $\ar{5x + 15y}$. العامل المشترك الأكبر بين الحدين هو 5.

$\ar{5x + 15y = 5(x + 3y)}$

2. تحليل المقام:

المقام هو $\ar{x^2 + 6xy + 9y^2}$.

نلاحظ أن هذا المقدار هو مقدار ثلاثي مربع كامل، حيث:

• الحد الأول $\ar{(x^2)}$ هو مربع $\ar{(x)}$.
• الحد الثالث $\ar{(9y^2)}$ هو مربع $\ar{(3y)}$.
• الحد الأوسط $\ar{(6xy)}$ هو ضعف حاصل ضرب جذر الحد الأول وجذر الحد الثالث: $\ar{2 \times x \times 3y = 6xy}$.

إذن، تحليل المقام هو: $\ar{(x + 3y)^2}$، والذي يمكن كتابته كـ $\ar{(x + 3y)(x + 3y)}$.

3. كتابة الكسر بعد التحليل:

$\ar{\frac{5(x + 3y)}{(x + 3y)(x + 3y)}}$

4. اختصار العوامل المشتركة:

نلاحظ أن العامل $\ar{(x + 3y)}$ مشترك بين البسط والمقام. نقوم باختصاره (بشرط أن $\ar{x + 3y \neq 0}$).

يتبقى لدينا:

$\ar{\frac{5}{x + 3y}}$

هذا الناتج يتطابق تمامًا مع الكسر المعطى في الطرف الأيسر من السؤال.

إذن، العبارة المعطاة في السؤال صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير: ماذا لو كان المقام $\ar{x^2 - 6xy + 9y^2}$؟ كيف سيتغير التحليل والاختصار؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 3-2 تبسيط الكسور الجبرية التي تتضمن عمليات تحليل إضافية، صفحة 38. هذا السؤال يتطلب تحليل البسط بإخراج العامل المشترك وتحليل المقام كمربع كامل.)

الإجابة الصحيحة (خطأ).

المقدار هو $\ar{\frac{-l - m}{l - m}}$. بأخذ (-1) كعامل مشترك من البسط، نحصل على $\ar{\frac{-(l + m)}{l - m}}$.

هذا المقدار لا يساوي -1 بشكل عام. لكي يساوي -1، يجب أن يكون البسط هو المعكوس الجمعي للمقام، أي يجب أن يكون $\ar{l + m = -(l - m) = m - l}$. وهذا يتحقق فقط إذا كان $\ar{l = 0}$. ولكن العبارة يجب أن تكون صحيحة لجميع قيم $\ar{l}$ و $\ar{m}$ (حيث $\ar{l \neq m}$).

(الفصل الثاني: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2: تبسيط الكسور الجبرية البسيطة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (خطأ).

الكسر المعطى هو: $\ar{\frac{8mn^2}{16m^2n}}$

لتبسيط هذا الكسر:

1. تبسيط المعاملات العددية: العامل المشترك الأكبر لـ 8 و 16 هو 8. إذن 8 ÷ 8 = 1، و 16 ÷ 8 = 2.

2. تبسيط المتغير $\ar{m}$: لدينا $\ar{m}$ في البسط و $\ar{m^2}$ في المقام. عند الاختصار يتبقى $\ar{m}$ في المقام ($\ar{\frac{m^2}{m} = m}$).

3. تبسيط المتغير $\ar{n}$: لدينا $\ar{n^2}$ في البسط و $\ar{n}$ في المقام. عند الاختصار يتبقى $\ar{n}$ في البسط ($\ar{\frac{n^2}{n} = n}$).

إذن، الكسر في أبسط صورة هو: $\ar{\frac{1 \times n}{2 \times m} = \frac{n}{2m}}$

العبارة في السؤال تدعي أن أبسط صورة هي $\ar{\frac{1}{2n}}$. هذا غير صحيح، فالصورة الصحيحة هي $\ar{\frac{n}{2m}}$.

للاطلاع: كيف تبسط الكسر $\ar{\frac{12x^3y^2z}{18x^2y^4}}$؟

(الفصل 2 الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة، صفحة 37)