1- أبسط صورة للكسر $\ar{\frac{-b + a}{b - a}}$ هي 1 حيث $\ar{a \neq b}$ شرح السؤال لتبيسط الكسر، حاول أن تجعل البسط والمقام متشابهين قدر الإمكان. لاحظ أن حدود البسط هي نفسها حدود المقام ولكن بإشارات معكوسة. ماذا يحدث إذا أخذت (-1) كعامل مشترك من البسط أو من المقام؟ هل سيصبح الكسر مساويًا لـ 1 أم لعدد آخر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ. لتبسيط الكسر المعطى: $\ar{\frac{-b + a}{b - a}}$ يمكننا إعادة ترتيب حدود البسط لتصبح $\ar{(a - b)}$. إذن، الكسر يصبح: $\ar{\frac{a - b}{b - a}}$ نلاحظ أن البسط $\ar{(a - b)}$ هو معكوس المقام $\ar{(b - a)}$ في الإشارة. يمكننا كتابة $\ar{(b - a)}$ كـ $\ar{-(a - b)}$. إذن، الكسر يصبح: $\ar{\frac{a - b}{-(a - b)}}$ بما أن أ $\ar{\neq}$ ب، فإن $\ar{(a - b) \neq 0}$، وبالتالي يمكننا اختصار $\ar{(a - b)}$ من البسط والمقام. يتبقى لدينا: $\ar{\frac{1}{-1}}$ وهذا يساوي $\ar{-1}$. السؤال يقول أن أبسط صورة للكسر هي 1. بما أننا وجدنا أن أبسط صورة هي $\ar{-1}$، فإن العبارة المعطاة في السؤال خاطئة. لذلك، الخيار "صح" خاطئ. للتفكير: متى يكون الكسر الجبري مساويًا لـ 1؟ ومتى يكون مساويًا لـ -1؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة، يمكن الاسترشاد بالأمثلة في صفحة 37، المثال 2 (جـ) يشبه هذه الحالة)
2- اختصار : $\ar{\frac{5x + 15y}{x^2 + 6xy + 9y^2}}$ يساوي $\ar{\frac{5}{x + 3y}}$ شرح السؤال لاختصار الكسر الجبري، اتبع الخطوات التالية: حلل البسط: ابحث عن العامل المشترك الأكبر في حدود البسط $\ar{(5x + 15y)}$. حلل المقام: المقام $\ar{(x^2 + 6xy + 9y^2)}$ هو مقدار ثلاثي مربع كامل. تذكر كيف يتم تحليل المقدار الثلاثي المربع الكامل. يجب أن يكون على صورة $\ar{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$. بعد التحليل، ابحث عن العوامل المشتركة بين البسط والمقام وقم باختصارها. قارن الناتج بالكسر المعطى في الطرف الأيسر من السؤال. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. لنتحقق من اختصار الكسر المعطى: $\ar{\frac{5x + 15y}{x^2 + 6xy + 9y^2}}$ 1. تحليل البسط: البسط هو $\ar{5x + 15y}$. العامل المشترك الأكبر بين الحدين هو 5. $\ar{5x + 15y = 5(x + 3y)}$ 2. تحليل المقام: المقام هو $\ar{x^2 + 6xy + 9y^2}$. نلاحظ أن هذا المقدار هو مقدار ثلاثي مربع كامل، حيث: الحد الأول $\ar{(x^2)}$ هو مربع $\ar{(x)}$. الحد الثالث $\ar{(9y^2)}$ هو مربع $\ar{(3y)}$. الحد الأوسط $\ar{(6xy)}$ هو ضعف حاصل ضرب جذر الحد الأول وجذر الحد الثالث: $\ar{2 \times x \times 3y = 6xy}$. إذن، تحليل المقام هو: $\ar{(x + 3y)^2}$، والذي يمكن كتابته كـ $\ar{(x + 3y)(x + 3y)}$. 3. كتابة الكسر بعد التحليل: $\ar{\frac{5(x + 3y)}{(x + 3y)(x + 3y)}}$ 4. اختصار العوامل المشتركة: نلاحظ أن العامل $\ar{(x + 3y)}$ مشترك بين البسط والمقام. نقوم باختصاره (بشرط أن $\ar{x + 3y \neq 0}$). يتبقى لدينا: $\ar{\frac{5}{x + 3y}}$ هذا الناتج يتطابق تمامًا مع الكسر المعطى في الطرف الأيسر من السؤال. إذن، العبارة المعطاة في السؤال صحيحة. لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح. للتفكير: ماذا لو كان المقام $\ar{x^2 - 6xy + 9y^2}$؟ كيف سيتغير التحليل والاختصار؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 3-2 تبسيط الكسور الجبرية التي تتضمن عمليات تحليل إضافية، صفحة 38. هذا السؤال يتطلب تحليل البسط بإخراج العامل المشترك وتحليل المقام كمربع كامل.)
3- إذا كانت أبسط صورة للكسر $\ar{\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - m}}$ هي $\ar{\frac{x - 4}{x + 2}}$ فإن $\ar{m = \dots\dots}$ شرح السؤال حلل بسط الكسر الأصلي: المقدار $\ar{x^2 - 6x + 8}$ هو مقدار ثلاثي. ابحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما -6. الآن لديك الكسر الأصلي بعد تحليل بسطه: $\ar{\frac{(x - 2)(x - 4)}{x^2 - m}}$. معطى أن أبسط صورة لهذا الكسر هي $\ar{\frac{x - 4}{x + 2}}$. لكي يتم اختصار الكسر الأصلي إلى هذه الصورة المبسطة، يجب أن يكون العامل $\ar{(x - 2)}$ (من البسط) قد تم اختصاره مع عامل مكافئ له نتج عن تحليل المقام $\ar{(x^2 - m)}$. هذا يعني أن $\ar{(x - 2)}$ يجب أن يكون أحد عوامل $\ar{(x^2 - m)}$. فإذا كان $\ar{(x - 2)}$ عاملاً، فإن المقام $\ar{(x^2 - m)}$ يجب أن يكون مساويًا لـ $\ar{(x - 2)}$ مضروبًا في $\ar{(x + 2)}$ (وهو العامل المتبقي في مقام الصورة المبسطة). إذن، $\ar{x^2 - m = (x - 2)(x + 2)}$. قم بفك القوس $\ar{(x - 2)(x + 2)}$ وقارن الناتج بـ $\ar{x^2 - m}$ لتجد قيمة "$\ar{m}$". -2 2 -4 4 الإجابة الصحيحة: 4 لإيجاد قيمة "$\ar{m}$"، سنقوم بتحليل الكسر الأصلي ونقارنه بالصورة المبسطة المعطاة. الكسر الأصلي هو: $\ar{\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 - m}}$ 1. تحليل البسط: $\ar{x^2 - 6x + 8}$ نبحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما -6. العددان هما -2 و -4. إذن، $\ar{x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)}$. 2. كتابة الكسر الأصلي بعد تحليل البسط: $\ar{\frac{(x - 2)(x - 4)}{x^2 - m}}$ معطى أن أبسط صورة لهذا الكسر هي: $\ar{\frac{x - 4}{x + 2}}$ لكي نحصل على هذه الصورة المبسطة، يجب أن يتم اختصار العامل $\ar{(x - 2)}$ من البسط مع عامل مكافئ له في المقام، ويجب أن يكون العامل المتبقي في المقام هو $\ar{(x + 2)}$. هذا يعني أن المقام الأصلي، $\ar{x^2 - m}$، يجب أن يكون حاصل ضرب العامل الذي تم اختصاره $\ar{(x - 2)}$ والعامل المتبقي في مقام الصورة المبسطة $\ar{(x + 2)}$. إذن: $\ar{x^2 - m = (x - 2)(x + 2)}$ الطرف الأيمن $\ar{(x - 2)(x + 2)}$ هو فرق بين مربعين، ويساوي $\ar{x^2 - 2^2 = x^2 - 4}$. الآن نقارن: $\ar{x^2 - m = x^2 - 4}$ بمقارنة الطرفين، نجد أن: $\ar{-m = -4}$ وبالتالي، $\ar{m = 4}$. للتفكير: إذا كانت أبسط صورة للكسر $\ar{\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - m}}$ هي $\ar{\frac{x + 1}{x - 3}}$، فما قيمة "$\ar{m}$"؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة. يتطلب هذا السؤال تحليل البسط أولاً، ثم استخدام الصورة المبسطة المعطاة لاستنتاج تحليل المقام وقيمة المجهول $\ar{m}$.)
4- عند مبادلة ترتيب المعادلة $\ar{\frac{1}{y} + 2 = x}$ بجعل ص المتغير التابع فإن $\ar{\dots\dots}$ شرح السؤال لجعل "ص" المتغير التابع، اتبع الخطوات التالية لعزل "ص" في طرف بمفردها: المعادلة الأصلية: $\ar{\frac{1}{y} + 2 = x}$ اطرح 2 من الطرفين لعزل الحد الذي يحتوي على "ص". ستحصل على: $\ar{\frac{1}{y} = x - 2}$ لإيجاد "ص"، خذ مقلوب الطرفين. تذكر أن مقلوب $\ar{\frac{1}{y}}$ هو "ص". $\ar{y = x - 2}$ $\ar{y = x + 2}$ $\ar{\frac{1}{x + 2}}$ $\ar{y = \frac{1}{x - 2}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{y = \frac{1}{x - 2}}$ المعادلة المعطاة هي: $\ar{\frac{1}{y} + 2 = x}$ المطلوب هو جعل "ص" المتغير التابع، أي عزل "ص" في طرف بمفردها. الخطوة 1: نطرح 2 من طرفي المعادلة لعزل الحد الذي يحتوي على "ص". $\ar{\frac{1}{y} = x - 2}$ الخطوة 2: لإيجاد "ص"، نأخذ مقلوب الطرفين. مقلوب $\ar{\frac{1}{y}}$ هو "ص"، ومقلوب $\ar{(x - 2)}$ هو $\ar{\frac{1}{x - 2}}$. إذن، $\ar{y = \frac{1}{x - 2}}$ هذا يتطابق مع الخيار (د). لماذا الخيارات الأخرى خاطئة: أ) $\ar{y = x - 2}$: هذا هو ناتج الخطوة الأولى فقط (قيمة $\ar{\frac{1}{y}}$)، وليس قيمة "ص". ب) $\ar{y = x + 2}$: هذا ينتج عن خطأ في نقل العدد 2 إلى الطرف الآخر أو خطأ في فهم المطلوب. ج) $\ar{y = \frac{1}{x + 2}}$: هذا ينتج عن خطأ في إشارة العدد 2 عند نقله للطرف الآخر قبل أخذ المقلوب. للتفكير: إذا كانت المعادلة الأصلية هي $\ar{\frac{y}{2} + 2 = x}$، فما هي قيمة "ص" كمتغير تابع؟ (الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 8-2 المعالجة بالصيغ الرياضية، صفحة 52-53. هذا السؤال يتطلب مهارة تغيير موضوع الصيغة.)
