الإجابة الصحيحة: على محور السينات

1. المفهوم الأساسي:

في المستوى الديكارتي، أي نقطة يكون إحداثيها الصادي $\ar{ (y) }$ صفراً، تقع مباشرة على المحور الأفقي (محور السينات) ولا تنتمي لأي ربع من الأرباع.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• الزوج المرتب هو $\ar{ (x, y) = (4, 0) }$.
• تحركنا على المحور السيني بمقدار 4 وحدات لليمين.
• بما أن $\ar{ y = 0 }$، فإننا لم نصعد ولم نهبط، بل توقفنا عند تقاطع النقطة مع المحور.
• إذن النقطة تقطع محور السينات وتستقر عليه تماماً.

⚠️ خطأ شائع:

التسرع واختيار "محور الصادات" بسبب وجود الصفر، أو اختيار "الربع الأول" فقط لأن الرقم $\ar{ 4 }$ موجب دون الانتباه لأن المحاور تُعد خطوط فاصلة وليست داخل الأرباع.

💡 إضافة (النقاط الحدودية):

النقاط التي تقع على المحاور تُسمى رياضياً بالنقاط (الحدودية) أو (المقاطع)، وهي لا تُعتبر تابعة لأي من الأرباع الأربعة للمستوى الديكارتي، بل هي الخطوط التي تفصل بينها!

(الفصل 3: هندسة الإحداثيات، الدرس 3-1: استخدام الأعداد الموجهة لوصف موضع نقطة، ص 59)

الإجابة الصحيحة: $\ar{ y = 2x - 3 }$

1. المفهوم الأساسي:

معادلة الخط المستقيم تُستنتج من الرسم البياني باستخدام الصيغة القياسية $\ar{ y = mx + c }$، حيث يمثل $\ar{ m }$ الميل الجبري، ويمثل $\ar{ c }$ الجزء المقطوع من محور الصادات.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• بالنظر للرسم البياني للمستقيم، نلاحظ أنه يقطع محور الصادات (الخط العمودي) عند النقطة $\ar{ (0, -3) }$، إذن الثابت $\ar{ c = -3 }$.
• لاختيار نقطة أخرى يمر بها المستقيم بشكل صريح لنجد الميل، نجد النقطة $\ar{ (2, 1) }$.
• نحسب الميل بقانون (فرق الصادات على فرق السينات): $\ar{ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-3)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 }$.
• بالتعويض في الصيغة العامة نجد: $\ar{ y = 2x - 3 }$.

⚠️ خطأ شائع:

الخلط بين المقطع السيني والمقطع الصادي عند تحديد قيمة $\ar{ c }$ في المعادلة، مما يغير من طبيعة المعادلة تماماً.

💡 مرونة العقل (الهندسة التحليلية):

الميل الموجب يعني أن المستقيم يتجه دائماً لأعلى من اليسار لليمين، والميل السالب يعني أنه يتجه لأسفل. هذا الاستنتاج البصري السريع يساعدك في استبعاد الخيارات الخاطئة فوراً بمجرد النظر للرسم!

(الفصل 3: هندسة الإحداثيات، الدرس 3-2: النماذج الخطية ومعادلاتها، ص 66)

الإجابة الصحيحة: $\ar{ x = -2 }$

1. المفهوم الأساسي:

الخطوط الرأسية الموازية لمحور الصادات تأخذ صيغة المعادلة الثابتة للإحداثي السيني $\ar{ x = c }$، حيث يحافظ الخط على نفس المسافة الأفقية من نقطة الأصل.

2. خطوات الحل التفصيلية:

• بما أن المستقيم يوازي محور الصادات، فهو يثبت قيمة السينات.
• نستخرج الإحداثي السيني للنقطة المعطاة $\ar{ (-2, 5) }$، وهو $\ar{ -2 }$.
• إذاً، معادلة الخط العمودي هي $\ar{ x = -2 }$.

⚠️ خطأ شائع:

اختيار المعادلة $\ar{ y = 5 }$، وهي تعبر خطأً عن المستقيم الأفقي (الموازي لمحور السينات) وليس الصادات.

💡 تفكيك المألوف (ميل غير معرّف):

الخطوط الموازية لمحور الصادات ليس لها مقطع صادي (لا تقطع محور ص أبداً)، ويُعتبر 'ميلها' غير معرّف لأن القاسم في قانون الميل الرياضي سيساوي صفراً!

(الفصل 3: هندسة الإحداثيات، الدرس 3-3: العلاقات الخطية الرأسية والأفقية، ص 74)