الإجابة الصحيحة: صح.

لتوضيح ذلك، دعنا نوجد مفكوك التعبير $\ar{-2(5m - 2)}$ خطوة بخطوة باستخدام قانون التوزيع، مع الانتباه للإشارات:

1. نضرب -2 في الحد الأول داخل القوس $\ar{(5m)}$:
   $\ar{-2 \times 5m = -10m}$ (لأن سالب × موجب = سالب)

2. نضرب -2 في الحد الثاني داخل القوس (-2):
   $\ar{-2 \times (-2) = +4}$ (لأن سالب × سالب = موجب)

إذن، مفكوك $\ar{-2(5m - 2)}$ هو $\ar{-10m + 4}$.

العبارة المعطاة في السؤال هي أن المفكوك يساوي $\ar{4 - 10m}$.
يمكن إعادة ترتيب ناتجنا $\ar{(-10m + 4)}$ ليصبح $\ar{4 + (-10m)}$، وهو نفسه $\ar{4 - 10m}$.
إذًا، العبارة المعطاة في السؤال صحيحة تمامًا.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح، لأن عملية التوزيع الصحيحة مع مراعاة الإشارات تؤدي إلى تطابق الناتج مع الطرف الأيسر من المعادلة المعطاة.

للتفكير: ماذا لو كان السؤال مفكوك: $\ar{2(5m - 2) = 4 - 10m}$؟ هل ستظل الإجابة "صح"؟ ولماذا؟

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-1 إيجاد المفكوك باستخدام قانون التوزيع (مراجعة)، صفحة 10)

الإجابة الصحيحة: صح.

لنتحقق من ذلك، سنقوم بتحليل المقدار $\ar{x^2 - x + 5lx - 5l}$ باستخدام طريقة التحليل بالتجميع:

المقدار هو: $\ar{x^2 - x + 5lx - 5l}$

1. نأخذ العامل المشترك من أول حدين ($\ar{x^2 - x}$): العامل المشترك هو س.
   $\ar{x(x - 1)}$
2. نأخذ العامل المشترك من آخر حدين ($\ar{+5lx - 5l}$): العامل المشترك هو +5ل.
   $\ar{+5l(x - 1)}$

الآن أصبح المقدار: $\ar{x(x - 1) + 5l(x - 1)}$

نلاحظ أن $\ar{(x - 1)}$ هو عامل مشترك جديد لكلا الجزأين. نأخذه كعامل مشترك:
$\ar{(x - 1)(x + 5l)}$

إذن، عوامل المقدار $\ar{x^2 - x + 5lx - 5l}$ هي $\ar{(x - 1)}$ و $\ar{(x + 5l)}$.
بما أن السؤال يذكر أن $\ar{(x - 1)}$ هو أحد العوامل، فإن العامل الآخر هو بالفعل $\ar{(x + 5l)}$.
العبارة المعطاة في السؤال صحيحة.

طريقة أخرى للتحقق:
إذا كان $\ar{(x - 1)}$ و $\ar{(x + 5l)}$ هما العاملان، فإن حاصل ضربهما يجب أن يعطي المقدار الأصلي.
$\ar{(x - 1)(x + 5l) = x(x + 5l) - 1(x + 5l)}$
$\ar{= x^2 + 5lx - x - 5l}$
$\ar{= x^2 - x + 5lx - 5l}$ (بإعادة ترتيب الحدود لتطابق المقدار الأصلي)
وهذا هو المقدار الأصلي.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير: هل يمكنك تحليل المقدار بطريقة تجميع مختلفة؟ مثلاً، تجميع $\ar{x^2 + 5lx}$ أولاً؟ هل ستحصل على نفس النتيجة؟

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5 التحليل، الفقرة 1-5-1 التحليل بالتجميع، صفحة 24)

الإجابة الصحيحة: صح.

السؤال يفترض أن قيمة $\ar{a}$ الصحيحة الموجبة التي تجعل المقدار $\ar{x^2 + 5x + a}$ قابلاً للتحليل هي 6.

لنتحقق من هذا الافتراض. إذا كانت $\ar{a = 6}$، فإن المقدار يصبح: $\ar{x^2 + 5x + 6}$.

لكي يكون هذا المقدار الثلاثي قابلاً للتحليل، يجب أن نبحث عن عددين صحيحين:

• حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت (الذي هو $\ar{a = 6}$).
• ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط (وهو 5).

لنبحث عن عوامل العدد 6 الموجبة ونرى أي زوج منها مجموعه 5:

• $\ar{1 \times 6 = 6}$ ؛ ومجموعهما $\ar{1 + 6 = 7}$ (لا يساوي 5)
• $\ar{2 \times 3 = 6}$ ؛ ومجموعهما $\ar{2 + 3 = 5}$ (يساوي 5!)

وجدنا العددين المطلوبين وهما 2 و 3.

بما أننا وجدنا عددين (2 و 3) حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 5، فإن المقدار $\ar{x^2 + 5x + 6}$ قابل للتحليل، وتحليله هو $\ar{(x + 2)(x + 3)}$.

وبما أن المقدار قابل للتحليل عندما $\ar{a = 6}$ (وهي قيمة صحيحة وموجبة)، فإن العبارة المعطاة في السؤال "قيمة $\ar{a}$ الصحيحة الموجبة التي تجعل المقدار $\ar{x^2 + 5x + a}$ قابل للتحليل هي 6" هي عبارة صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير: هل توجد قيم أخرى موجبة وصحيحة لـ $\ar{a}$ تجعل المقدار $\ar{x^2 + 5x + a}$ قابلاً للتحليل؟ على سبيل المثال، لو كان معامل الحد الأوسط $\ar{6x}$ بدلاً من $\ar{5x}$، ما هي قيمة $\ar{a}$ الممكنة التي تجعله قابلاً للتحليل؟

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5 التحليل، الفقرة 1-5-2 تحليل المقادير التربيعية الثلاثية، صفحة 25-28. هذا السؤال يتطلب فهم كيفية إيجاد الحد الثابت $\ar{a}$ بناءً على قابلية التحليل.)

الإجابة الصحيحة: 49

المقدار الجبري المعطى هو: $\ar{4x^2 + 28x + k}$.

لكي يكون هذا المقدار مربعًا كاملاً، يجب أن يكون على الصورة $\ar{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$.

نقارن المقدار المعطى بالصورة العامة:

• الحد الأول: $\ar{a^2 = 4x^2}$. بأخذ الجذر التربيعي، نجد أن $\ar{a = 2x}$.
• الحد الأوسط: $\ar{2ab = 28x}$.
• الحد الثالث: $\ar{b^2 = k}$.

من الحد الأوسط، لدينا $\ar{2ab = 28x}$.

نعوض بقيمة $\ar{a = 2x}$ في هذه المعادلة:

$\ar{2(2x)b = 28x}$

$\ar{4xb = 28x}$

لإيجاد قيمة "$\ar{b}$"، نقسم الطرفين على $\ar{4x}$ (بافتراض $\ar{x \neq 0}$):

$\ar{b = \frac{28x}{4x}}$

$\ar{b = 7}$

الآن، بما أن الحد الثالث هو $\ar{b^2 = k}$، وقيمة $\ar{b}$ هي 7، فإن:

$\ar{k = b^2 = 7^2 = 49}$.

إذن، عندما $\ar{k = 49}$، يصبح المقدار $\ar{4x^2 + 28x + 49}$، وهو مربع كامل لتحليل $\ar{(2x + 7)^2}$.

هذا يتطابق مع الخيار الأول.

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

• 7: لو $\ar{k = 7}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{7}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$).
• 14: لو $\ar{k = 14}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{14}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{14} = 4\sqrt{14}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$).
• 24: لو $\ar{k = 24}$، فإن جذر $\ar{k = \sqrt{24}}$. الحد الأوسط سيكون $\ar{2 \times 2x \times \sqrt{24} = 4\sqrt{24}x}$ (لا يساوي $\ar{28x}$).

للتفكير: إذا كان المقدار هو $\ar{x^2 + kx + 36}$ مربعًا كاملاً، فما هي القيمة الممكنة لـ "$\ar{k}$"؟ (انتبه، قد تكون هناك قيمتان لـ "$\ar{k}$").

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-2 إيجاد مفكوك المربعات الكاملة، صفحة 15. الفكرة معكوسة هنا، حيث يُعطى جزء من المربع الكامل والمطلوب إيجاد الحد الناقص ليصبح مربعاً كاملاً.)