الإجابة الصحيحة: صح.

لنتحقق من ذلك، سنقوم بتحليل المقدار س²– س + 5 ل س – 5 ل باستخدام طريقة التحليل بالتجميع:

المقدار هو: س²– س + 5 ل س – 5 ل

1. نأخذ العامل المشترك من أول حدين (س²– س): العامل المشترك هو س.
   س(س – 1)
2. نأخذ العامل المشترك من آخر حدين (+ 5 ل س – 5 ل): العامل المشترك هو +5ل.
   +5ل(س – 1)

الآن أصبح المقدار: س(س – 1) + 5ل(س – 1)

نلاحظ أن (س – 1) هو عامل مشترك جديد لكلا الجزأين. نأخذه كعامل مشترك:
(س – 1)(س + 5ل)

إذن، عوامل المقدار س²– س + 5 ل س – 5 ل هي (س – 1) و (س + 5ل).
بما أن السؤال يذكر أن (س – 1) هو أحد العوامل، فإن العامل الآخر هو بالفعل (س + 5ل).
العبارة المعطاة في السؤال صحيحة.

طريقة أخرى للتحقق:
إذا كان (س – 1) و (س + 5ل) هما العاملان، فإن حاصل ضربهما يجب أن يعطي المقدار الأصلي.
(س – 1)(س + 5ل) = س(س + 5ل) – 1(س + 5ل)
= س²+ 5سل – س – 5ل
= س²– س + 5سل – 5ل (بإعادة ترتيب الحدود لتطابق المقدار الأصلي)
وهذا هو المقدار الأصلي.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير:هل يمكنك تحليل المقدار بطريقة تجميع مختلفة؟ مثلاً، تجميع س²+ 5 ل س أولاً؟ هل ستحصل على نفس النتيجة؟

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5 التحليل، الفقرة 1-5-1 التحليل بالتجميع، صفحة 24)

الإجابة الصحيحة: صح.

السؤال يفترض أن قيمة "أ" الصحيحة الموجبة التي تجعل المقدار س²+ 5س + أ قابلاً للتحليل هي 6.

لنتحقق من هذا الافتراض. إذا كانت أ = 6، فإن المقدار يصبح: س² + 5س + 6.

لكي يكون هذا المقدار الثلاثي قابلاً للتحليل، يجب أن نبحث عن عددين صحيحين:

• حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت (الذي هو أ = 6).
• ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط (وهو 5).

لنبحث عن عوامل العدد 6 الموجبة ونرى أي زوج منها مجموعه 5:

• 1 × 6 = 6 ؛ ومجموعهما 1 + 6 = 7 (لا يساوي 5)
• 2 × 3 = 6 ؛ ومجموعهما 2 + 3 = 5 (يساوي 5!)

وجدنا العددين المطلوبين وهما 2 و 3.

بما أننا وجدنا عددين (2 و 3) حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 5، فإن المقدار س²+ 5س + 6 قابل للتحليل، وتحليله هو (س + 2)(س + 3).

وبما أن المقدار قابل للتحليل عندما أ = 6 (وهي قيمة صحيحة وموجبة)، فإن العبارة المعطاة في السؤال "قيمة أ الصحيحة الموجبة التي تجعل المقدار س²+ 5 س + أ قابل للتحليل هي 6" هي عبارة صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير:هل توجد قيم أخرى موجبة وصحيحة لـ "أ" تجعل المقدار س²+ 5س + أ قابلاً للتحليل؟ على سبيل المثال، لو كان معامل الحد الأوسط 6س بدلاً من 5س، ما هي قيمة "أ" الممكنة التي تجعله قابلاً للتحليل؟

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5 التحليل، الفقرة 1-5-2 تحليل المقادير التربيعية الثلاثية، صفحة 25-28. هذا السؤال يتطلب فهم كيفية إيجاد الحد الثابت "أ" بناءً على قابلية التحليل.)

الإجابة الصحيحة: 49

المقدار الجبري المعطى هو: 4س²+ 28س + ك.

لكي يكون هذا المقدار مربعًا كاملاً، يجب أن يكون على الصورة (أ + ب)²= أ²+ 2أب + ب².

نقارن المقدار المعطى بالصورة العامة:

• الحد الأول: أ²= 4س². بأخذ الجذر التربيعي، نجد أن أ = 2س.
• الحد الأوسط: 2أب = 28س.
• الحد الثالث: ب²= ك.

من الحد الأوسط، لدينا 2أب = 28س.

نعوض بقيمة أ = 2س في هذه المعادلة:

2(2س)ب = 28س

4سب = 28س

لإيجاد قيمة "ب"، نقسم الطرفين على 4س (بافتراض س ≠ 0):

ب = 28س / 4س

ب = 7

الآن، بما أن الحد الثالث هو ب²= ك، وقيمة ب هي 7، فإن:

ك = ب²= (7)²= 49.

إذن، عندما ك = 49، يصبح المقدار 4س²+ 28س + 49، وهو مربع كامل لتحليل (2س + 7)².

هذا يتطابق مع الخيار الأول.

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

• 7:لو ك = 7، فإن جذر ك = √7. الحد الأوسط سيكون 2 × 2س × √7 = 4√7 س (لا يساوي 28س).
• 14:لو ك = 14، فإن جذر ك = √14. الحد الأوسط سيكون 2 × 2س × √14 = 4√14 س (لا يساوي 28س).
• 24:لو ك = 24، فإن جذر ك = √24. الحد الأوسط سيكون 2 × 2س × √24 = 4√24 س (لا يساوي 28س).

للتفكير:إذا كان المقدار هو س²+ ك س + 36 مربعًا كاملاً، فما هي القيمة الممكنة لـ "ك"؟ (انتبه، قد تكون هناك قيمتان لـ "ك").

(الوحدة الأولى: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-2 إيجاد مفكوك المربعات الكاملة، صفحة 15. الفكرة معكوسة هنا، حيث يُعطى جزء من المربع الكامل والمطلوب إيجاد الحد الناقص ليصبح مربعاً كاملاً.)