الإجابة الصحيحة: خطأ

المفهوم الفيزيائي: لكي يتزن جسم تحت تأثير قوتين فقط، يجب أن تكون هاتان القوتان متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه، وبالتالي تكون محصلتهما تساوي **صفراً**، وليست أكبر من أي منهما!

⚠️ انتبه (Trick): يتوهم البعض أن المحصلة هي الجمع الجبري دائماً، لكن في المتجهات الاتجاه يحدد المحصلة.

الإجابة الصحيحة: $7.79 \, \mathrm{kg}$

المفهوم الفيزيائي: بما أن الدفع للأسفل مائل بزاوية، فإن له مركبة أفقية تحرك العربة، ومركبة رأسية للأسفل تُضاف إلى وزن العربة الحقيقي، مما يجعل الأرض ترد بقوة اتصال عمودية ($R$) أكبر من الوزن.

💡 للحل السريع (الحدس والاستبعاد): الاتصال العمودي = الوزن + الدفعة لأسفل. الدفعة لأسفل تقريباً $50 \times \sin(20) \approx 17 \, \mathrm{N}$. الوزن $W = 95 - 17 = 78 \, \mathrm{N}$. إذن الكتلة تقريباً $7.8 \, \mathrm{kg}$.

خطوات الحل:

• معادلة الاتزان الرأسي: $R = W + F \sin\theta$.
• التعويض بالقيم: $95 = mg + 50 \sin(20^\circ)$.
• $95 = 10m + 50(0.342) \Rightarrow 95 = 10m + 17.1$.
• $10m = 95 - 17.1 = 77.9 \Rightarrow m = 7.79 \, \mathrm{kg}$.

⚠️ انتبه (Trick): عبارة "بسرعة ثابتة" وُضعت لتشتيت انتباهك. حساب الكتلة هنا يتطلب فقط اتزان القوى في الاتجاه (الرأسي) حيث لا توجد حركة أصلاً.

الميكانيكا، الفصل الأول: تحليل القوى، الدرس 1-2، الصفحة: 10

الإجابة الصحيحة: $26 \, \mathrm{N}$ أو $41 \, \mathrm{N}$ (السؤال يعاني من نقص في المعطيات ويحتمل إجابتين)

المفهوم الفيزيائي (نطاق الاتزان):

في مسائل الاتزان التي تتضمن قوة احتكاك على مستوى مائل، لا يوجد بالضرورة وزن واحد فقط يحقق الاتزان، بل يوجد "نطاق اتزان" يمتد من وزن أدنى (نهاية صغرى) إلى وزن أقصى (نهاية عظمى). قوة الاحتكاك هي قوة "ذكية" تغير اتجاهها لتعاكس اتجاه الميل للحركة.

بما أن نص المسألة والرسم المرفق لم يحددا اتجاه قوة الاحتكاك (بسهم مثلاً) أو اتجاه الميل للحركة، فإن المسألة تحتمل فيزيائياً فرضيتين صحيحتين تماماً، والمفاجأة أن كلتيهما تؤديان إلى إجابات موجودة ضمن الخيارات!

نبدأ أولاً بتحليل القوى الثابتة:

• مركبة القوة الأفقية التي تدفع لأعلى المستوى: $28 \cos(40^\circ) \approx 21.45 \, \mathrm{N}$

• مركبة الوزن التي تسحب لأسفل المستوى: $W \sin(40^\circ)$

الاحتمال الأول: الصندوق خفيف (الميل للانزلاق لأعلى)

إذا كان وزن الصندوق خفيفاً، فإن مركبة القوة الأفقية ($21.45 \, \mathrm{N}$) ستكون كافية لجعله يميل للانزلاق لأعلى المستوى. هنا ستعمل قوة الاحتكاك ($4.8 \, \mathrm{N}$) لأسفل لمساندة الوزن.

• معادلة الاتزان: القوى لأعلى = القوى لأسفل

  $28 \cos(40^\circ) = W \sin(40^\circ) + 4.8$

  $21.45 = W \sin(40^\circ) + 4.8$

  $W \sin(40^\circ) = 16.65 \, \mathrm{N} \Rightarrow W = \frac{16.65}{\sin(40^\circ)} \approx 26 \, \mathrm{N}$.

• النتيجة: $26 \, \mathrm{N}$ (وهو الخيار الأول، ويبدو أنه ما قصده واضع السؤال).

الاحتمال الثاني: الصندوق ثقيل (الميل للانزلاق لأسفل)

إذا كان الصندوق ثقيلاً، فإن مركبة وزنه ستتغلب على دفعة القوة الأفقية، مما يجعله يميل للانزلاق لأسفل. هنا ستعمل قوة الاحتكاك ($4.8 \, \mathrm{N}$) لأعلى لمساندة القوة الأفقية.

• معادلة الاتزان: القوى لأعلى = القوى لأسفل

  $28 \cos(40^\circ) + 4.8 = W \sin(40^\circ)$

  $21.45 + 4.8 = W \sin(40^\circ)$

  $W \sin(40^\circ) = 26.25 \, \mathrm{N} \Rightarrow W = \frac{26.25}{\sin(40^\circ)} \approx 41 \, \mathrm{N}$.

• النتيجة: $41 \, \mathrm{N}$ (وهو الخيار الرابع!).

💡 اعرف أكثر (كيف وصل النظام إلى حافة الاتزان؟):

لفهم سبب وجود احتمالين، يجب أن ننتقل من "الاستاتيكا" (دراسة السكون) إلى "الديناميكا" (دراسة الحركة)، ونسأل أنفسنا: كيف وصل هذا الصندوق إلى وضع الاستقرار الحالي؟ لدينا ثلاثة سيناريوهات حركية:

1. الوصول للاتزان بعد الانزلاق لأسفل (ينتج الوزن $41 \, \mathrm{N}$):

   تخيل أن الصندوق كان ينزلق لأسفل المنحدر. الاحتكاك الحركي كان يعمل لأعلى ليقاومه. بدأت القوة الأفقية الدافعة تتزايد تدريجياً حتى أوقفت الصندوق تماماً. في لحظة السكون هذه، القوة الأفقية تمنعه من الاستمرار في السقوط، لكن الوزن الثقيل لا يزال يميل به للأسفل. لذا، يظل الاحتكاك السكوني موجهاً لأعلى بقيمته القصوى لمساندة القوة الأفقية.

2. الوصول للاتزان بعد الصعود لأعلى (ينتج الوزن $26 \, \mathrm{N}$):

   تخيل أن القوة الأفقية كانت كبيرة جداً وتدفع الصندوق صعوداً. الاحتكاك هنا كان يعمل لأسفل ليقاوم الصعود. بدأت القوة الأفقية تتناقص حتى توقف الصندوق. عند توقفه، القوة الأفقية لا تزال تحاول دفعه لأعلى (لأن وزنه خفيف)، فيتدخل الاحتكاك السكوني ويبقى موجهاً لأسفل ليمنع هذا الصعود.

3. الوضع من السكون المباشر (التعديل الذاتي):

   شخص وضع الصندوق على المستوى وطبق القوة الأفقية فوراً. هنا يظهر سحر الاحتكاك السكوني كقوة "مستجيبة":

   • إذا كان الوزن $41 \, \mathrm{N}$، سيكتشف النظام عجز القوة الأفقية، فينشأ احتكاك فوري لأعلى.

   • إذا كان الوزن $26 \, \mathrm{N}$، سيكتشف النظام قوة الدفع الزائدة، فينشأ احتكاك فوري لأسفل.

   • (أما لو كان الوزن بينهما، كـ $33 \, \mathrm{N}$ مثلاً، فإن النظام سيتزن باحتكاك أقل من $4.8 \, \mathrm{N}$ ولن يكون على وشك الحركة أصلاً).

⚠️ انتبه (الخلاصة): المسألة كما وردت في الامتحان هي أشبه بـ "لقطة ثابتة" من فيلم لم نشاهد بدايته. وبدون تحديد اتجاه قوة الاحتكاك أو الميل للحركة، لا يمكن الجزم بأي الاحتمالين هو الصحيح. هذا يُعد قصوراً في صياغة السؤال، ومن حق الطالب علمياً اختيار $26 \, \mathrm{N}$ أو $41 \, \mathrm{N}$.

الميكانيكا، الفصل الأول: تحليل القوى، الدرس 1-4، الصفحة: 16

الإجابة الصحيحة: $30 \, \mathrm{N}$

المفهوم الفيزيائي: نقطة تلاقي الخيوط في حالة اتزان، مما يعني أن محصلة القوى الأفقية صفر ومحصلة القوى الرأسية صفر. الخيط المائل هو الوحيد الذي يملك مركبات في كلا الاتجاهين.

💡 للحل السريع (الحدس والاستبعاد): الزاوية $45^\circ$ حالة خاصة جداً تعني أن ضلعي المثلث (المركبة الأفقية والرأسية) متطابقان تماماً. بما أن المركبة الأفقية متزنة مع خيط شدّه $30 \, \mathrm{N}$، إذن المركبة الرأسية أيضاً $30 \, \mathrm{N}$. وبما أنها متزنة مع الوزن، إذن الوزن = $30 \, \mathrm{N}$ مباشرة بلا حسابات معقدة.

خطوات الحل:

• بما أن الزاوية $45^\circ$ محددة مع الخط الرأسي المتقطع في الرسم، فإن المركبة الأفقية تعتمد على الجيب ($\sin$) والمركبة الرأسية تعتمد على جيب التمام ($\cos$).
• الاتزان الأفقي: $T_{\text{angled}} \sin(45^\circ) = 30 \Rightarrow T_{\text{angled}} = 30 / \sin(45^\circ) = 30\sqrt{2} \, \mathrm{N}$.
• الاتزان الرأسي: $W = T_{\text{angled}} \cos(45^\circ)$.
• التعويض: $W = 30\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 30 \, \mathrm{N}$.

الميكانيكا، الفصل الأول: تحليل القوى، الدرس 1-1، الصفحة: 8