1- متوسط عينة مسحوبة في مجتمع متوسطه مجهول هو $50$ فإذا تم تقدير الحد الأدنى لمتوسط ذلك المجتمع وكان $43$ فإن الحد الأعلى لتلك الفترة هو ........ شرح السؤال 💡 المنتصف دائماً: متوسط العينة ($\bar{x}$) يقع دائماً في مركز فترة الثقة. المسافة بين الحد الأدنى والمركز تساوي المسافة بين المركز والحد الأعلى. $25$ $59$ $50$ $57$ الإجابة الصحيحة هي ($57$).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):فترة الثقة لمتوسط المجتمع يتم بناؤها بشكل متماثل حول متوسط العينة ($\bar{x}$). على سبيل المثال، إذا قدر باحث أن متوسط أعمار زوار مكتبة هو $50$ عاماً (بناءً على العينة)، وأراد وضع فترة ثقة، فإنه سيطرح ويضيف قيمة متساوية تُسمى "هامش الخطأ".إذا كان الحد الأدنى للفترة هو $43$، فهذا يعني أن الباحث طرَح $7$ سنوات من المتوسط ($50 - 43 = 7$).للحفاظ على التماثل الرياضي للفترة، يجب أن يضيف نفس هامش الخطأ ($7$) إلى المتوسط للحصول على الحد الأعلى: $50 + 7 = 57$.🧠 المفهوم الإحصائي:فترة الثقة لمتوسط المجتمع تُبنى حول متوسط العينة ($\bar{x}$). يُعتبر $\bar{x}$ نقطة المنتصف بين الحدين الأدنى والأعلى للفترة. المسافة بين $\bar{x}$ وأي من الحدين تسمى "هامش الخطأ" ($E$).⚙️ خطوات الحل:1. معطيات: $\bar{x} = 50$, الحد الأدنى = $43$.2. نحسب هامش الخطأ ($E$):$$E = \bar{x} - \text{الحد الأدنى}$$$$E = 50 - 43 = 7$$3. نحسب الحد الأعلى بإضافة هامش الخطأ إلى متوسط العينة:$$\text{الحد الأعلى} = \bar{x} + E$$$$\text{الحد الأعلى} = 50 + 7 = 57$$(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، الدرس 2-5: التقدير بفترة، صفحة 147)
2- عند تحديد فترة الثقة للمعلمة $\mu$ عند مستوى ثقة $95\%$ فإن نسبة الفترات التي لا تحتوي على المعلمة المجهولة تساوي ........ شرح السؤال 💡 المكمل: مستوى الثقة يعطيك النسبة التي (تحتوي) فيها الفترة على المعلمة. ما هي النسبة المتبقية التي تمثل نسبة الخطأ أو الاستبعاد (مستوى المعنوية $\alpha$)؟ $50\%$ $5\%$ $90\%$ $100\%$ الإجابة الصحيحة هي ($5\%$).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):في الاستطلاعات والدراسات الطبية، عندما يصرح الباحثون بأنهم "واثقون بنسبة $95\%$" من أن دواءً معيناً يقلل ضغط الدم بمقدار يتراوح بين $10$ و $15$ درجة، فهذا يعني أنه لو تمت إعادة هذه الدراسة $100$ مرة، فإن $95$ من فترات الثقة المحسوبة ستحتوي بالفعل على التأثير الحقيقي للدواء.النسبة المتبقية والمكملة لـ $100\%$ تُسمى مستوى المعنوية $\alpha$، وهي تمثل نسبة الخطأ، أي احتمال أن التأثير الحقيقي للدواء يقع خارج هذا النطاق تماماً.بما أن مستوى الثقة هو $95\%$، فإن نسبة الفترات التي لا تحتوي على المعلمة هي $100\% - 95\% = 5\%$.🧠 المفهوم الإحصائي:عند تكوين فترة ثقة بمستوى $(1-\alpha)$ (مثل $95\%$), فإن هذا يعني أنه لو سحبنا عدداً كبيراً جداً من العينات وصنعنا فترة ثقة لكل عينة، فإن $95\%$ من هذه الفترات ستحتوي على المعلمة الحقيقية للمجتمع ($\mu$). النسبة المتبقية، وتُعرف بمستوى المعنوية ($\alpha$)، تمثل نسبة الفترات التي لن تحتوي على المعلمة.⚙️ حسابات بسيطة:$$\alpha = 100\% - 95\% = 5\%$$(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، الدرس 2-5: التقدير بفترة، صفحة 144)
3- طول الفترة التي حدها الأعلى $160.51$ وحدها الأدنى $105.49$ هو ........ شرح السؤال ⚙️ الطول = المسافة: كيف تحسب المسافة بين نقطتين على خط الأعداد؟ ببساطة اطرح القيمة الصغرى من القيمة الكبرى. $27.51$ $133$ $266$ $55.02$ الإجابة الصحيحة هي ($55.02$).🧠 المفهوم الإحصائي: طول فترة الثقة يمثل المدى الكلي للقيم المحتملة للتقدير. يُحسب رياضياً بإيجاد الفرق بين الحد الأعلى والحد الأدنى للفترة.⚙️ خطوات الحل:$$\text{طول الفترة} = \text{الحد الأعلى} - \text{الحد الأدنى}$$$$\text{طول الفترة} = 160.51 - 105.49 = 55.02$$💡 إضاءة إضافية: طول الفترة يساوي أيضاً ضعف هامش الخطأ ($2E$). إذا قسمنا طول الفترة المذكور ($55.02$) على $2$، سنحصل على هامش الخطأ ($27.51$).(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، الدرس 2-5: التقدير بفترة، مثال 5-2 صفحة 155)
4- في مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط مجهول سحبت عينة عشوائية من $20$ مفردة وكان متوسطها $60$ فإن متوسط ذلك المجتمع عند تقديره باستخدام قيمة هو .......... شرح السؤال 💡 التقدير بنقطة: ما هو أفضل تقدير لقيمة مجهولة في المجتمع؟ أليس هو نفس المقياس المحسوب من العينة؟ $120$ $60$ $30$ $6$ الإجابة الصحيحة هي ($60$). 🧠 المفهوم الإحصائي: في "التقدير بقيمة (بِنقطة)" يتم استخدام إحصاءة العينة كأفضل تقدير مباشر لمعلمة المجتمع المجهولة. بمعنى أن متوسط العينة $\bar{x}$ يُعتبر أفضل مقدر لمتوسط المجتمع $\mu$. 🎯 الاستنتاج: بما أن متوسط العينة $\bar{x} = 60$، فإننا نقدر متوسط المجتمع المجهول بأن قيمته ستكون قريبة جداً أو تساوي $60$. (الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، الدرس 1-5: التقدير بنقطة، صفحة 142)
