1- من شروط دالة كتلة الاحتمال $\sum f(x) = \text{صفر}$ لجميع قيم $x$ شرح السؤال 💡 قاعدة بديهية: مجموع جميع الاحتمالات الممكنة لتجربة ما يمثل الحدث المؤكد. ما هي القيمة الرياضية للحدث المؤكد؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ). 🧠 المفهوم الإحصائي: الشرط الرياضي الأساسي لكي تكون الدالة دالة "كتلة احتمال" صحيحة لمتغير متقطع هو أن يكون مجموع جميع الاحتمالات الممكنة مساوياً للواحد الصحيح (الحدث المؤكد)، وليس صفراً. أي يجب أن يكون: $\sum f(x) = 1$. المجموع الصفري يعني أن التجربة مستحيلة الوقوع بالكامل. (الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: شرطي دالة كتلة الاحتمال، صفحة 64)
2- إذا كان الجدول التالي يمثل توزيعاً احتمالياً متقطعاً: $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $f(x)$ $0.1$ $k$ $0.2$ $2k$ $0.1$ فإن قيمة ($k$) تساوي $0.3$ شرح السؤال ⚙️ قاعدة المجموع = $1$: اجمع كل القيم في الصف السفلي وساوها بالرقم $1$. حل المعادلة الناتجة لتجد قيمة $k$. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ). 🧠 المفهوم الإحصائي: في التوزيع الاحتمالي المتقطع، يجب أن يكون مجموع كل قيم دالة الاحتمال $f(x)$ مساوياً لـ $1$. ⚙️ خطوات الحل: 1. نطبق الشرط: $\sum f(x) = 1$ 2. نجمع القيم من الجدول: $$0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.1 = 1$$ 3. نجمع الأرقام الثابتة معاً والمتغيرات معاً: $$0.4 + 3k = 1$$ 4. ننقل $0.4$ للطرف الآخر: $$3k = 1 - 0.4 = 0.6$$ 5. نقسم لإيجاد $k$: $$k = \frac{0.6}{3} = 0.2$$ القيمة الصحيحة هي $0.2$ وليس $0.3$ كما ورد في السؤال. (الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع، صفحة 64)
3- إذا كانت دالة كتلة الاحتمال للمتغير العشوائي المتقطع $X$ كما يلي : $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{k} & x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \\ 0 & \text{خلاف ذلك} \end{cases}$$ فإن قيمة $k$ تساوي : شرح السؤال ⚙️ قاعدة المجموع: اجمع الاحتمالات لكل قيم $X$ الستة وساوها بـ $1$. $1/k + 1/k + ... = 1$. ما هي قيمة $k$؟ $3$ $6$ $4$ $5$ الإجابة الصحيحة هي ($6$).🧠 المفهوم الإحصائي: لكي تعتبر الدالة دالة كتلة احتمالية صحيحة، يجب أن يكون مجموع احتمالات جميع قيم المتغير يساوي الواحد الصحيح $\sum f(x) = 1$.⚙️ خطوات الحل:1. قيم $X$ المتاحة هي: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (عددها $6$ قيم).2. احتمال كل قيمة هو $\frac{1}{k}$.3. نجمعها:$$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 1$$$$6 \times \left(\frac{1}{k}\right) = 1$$$$\frac{6}{k} = 1 \implies k = 6$$(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع، صفحة 64)
4- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً له دالة توزيع احتمالي متقطع كالتالي : $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{C} & x = 0, 2 \\ \frac{4}{C} & x = 1, 3 \\ 0 & \text{خلاف ذلك} \end{cases}$$ فإن $P(2 \le X \le 3)$ يساوي : شرح السؤال ⚙️ أوجد المجهول أولاً: اجمع جميع احتمالات الدالة لكل قيم $x$ وساوها بـ $1$ لتكتشف قيمة الثابت $C$. بعد ذلك، اجمع الاحتمالات للقيم المطلوبة فقط ($2$ و $3$). $0.3$ $0.5$ $0.1$ $0.4$ الإجابة الصحيحة هي ($0.5$).🧠 المفهوم الإحصائي: المتغير المتقطع يتطلب أن يكون مجموع كل الاحتمالات الممكنة يساوى $1$. بعد إيجاد الثابت، الاحتمال المطلوب لفترة معينة يُحسب بجمع الاحتمالات الفردية للنقاط التي تقع داخل هذه الفترة.⚙️ خطوات الحل:1. إيجاد قيمة الثابت $C$:مجموع الاحتمالات = $1$$$f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1$$$$\frac{1}{C} + \frac{4}{C} + \frac{1}{C} + \frac{4}{C} = 1$$$$\frac{10}{C} = 1 \implies C = 10$$2. حساب الاحتمال المطلوب $P(2 \le X \le 3)$:القيم المشمولة في هذه الفترة هي $x=2$ و $x=3$.$$P = f(2) + f(3)$$$$P = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = 0.5$$(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها، الدرس 2-2: شرط التوزيع الاحتمالي المتقطع، صفحة 64)
