1- إذا كانت دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي $x$ كما يلي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & 0 \le x \le 2 \\ 0 & O.W \end{cases}$$ فإن $P(x=0.5) = 0.25$ شرح السؤال 💡 متصل أم متقطع؟ الدالة المعطاة هي دالة "كثافة" تُعرّف متغيراً مستمراً. ما هو احتمال أن يأخذ المتغير المستمر قيمة فردية محددة بدقة تامة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):عندما نتعامل مع متغيرات مستمرة (كالأطوال، الأوزان، أو الزمن) ونعبر عنها بـ "دالة كثافة احتمال"، فإن الاحتمال يُحسب على شكل مساحة تحت المنحنى لفترة معينة (مثلاً من $0$ إلى $1$).عندما يُطلب احتمال قيمة محددة بدقة متناهية مثل ($P(x=0.5)$)، فإننا رياضياً نطلب مساحة خط مستقيم. وبما أن الخط ليس له عرض، فإن مساحته تساوي صفراً دائماً.إذن: $P(x=0.5) = 0$ وليس $0.25$.⚠️ انتبه (Tricks): وضع السؤال القيمة $0.25$ كفخ للطلاب الذين سيقومون بالتعويض المباشر في الدالة $\frac{0.5}{2} = 0.25$ متناسين القاعدة الأساسية للتوزيع المتصل!(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر، صفحة 68)
2- إذا كان $x$ متغير عشوائي متقطع (منفصل) فإن $P(a \le x \le b) = P(a < x < b)$ شرح السؤال 💡 متقطع أم متصل؟ في المتغير المتقطع (مثل عدد الأطفال)، هل احتمال أن يكون عدد الأطفال (من $2$ إلى $4$ شاملاً) هو نفسه احتمال (أكبر من $2$ وأصغر من $4$)؟ أين ذهبت احتمالات الأطراف؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):هذه الخاصية (تجاهل علامة التساوي $\le$) صحيحة فقط في المتغيرات المستمرة (لأن احتمال القيمة الفردية صفر كما شرحنا سابقاً).لكن في المتغير المتقطع (المنفصل)، كل نقطة لها وزن واحتمال حقيقي! لو فرضنا أن $a=1$ و $b=3$:- التعبير $P(1 \le x \le 3)$ يعني أننا نحسب احتمال $x=1$ زائد $x=2$ زائد $x=3$.- بينما التعبير $P(1 < x < 3)$ يعني أننا نحسب احتمال $x=2$ فقط (لأن الأطراف غير مشمولة).بالتالي، الاحتمالان غير متساويين إطلاقاً في المتغير المتقطع.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر والمتقطع، صفحة 68)
3- إذا كان $x$ متغير عشوائي متقطع فإن تباين المتغير العشوائي $x$ يساوي $\sigma^2 = \sum x^2 f(x) - (\sum x f(x))^2$ شرح السؤال ⚙️ الصيغة العملية: تذكر أن التباين هو مجموع مربعات القيم مضروبة في احتمالاتها، ناقص (مربع الوسط الحسابي). هل التعبير $(\sum x f(x))^2$ يمثل مربع الوسط الحسابي $\mu^2$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: هذه العبارة تُمثل "الصيغة العملية" لحساب التباين للمتغير العشوائي المتقطع. القانون الأصلي هو: $\sigma^2 = \sum x^2 f(x) - \mu^2$.وبما أن الوسط الحسابي أو القيمة المتوقعة يُحسب بالصيغة $\mu = \sum x f(x)$، فإنه يمكننا استبدال $\mu^2$ بـ $(\sum x f(x))^2$.وهذا ما تم كتابته في السؤال بالضبط، لذا فالصيغة صحيحة رياضياً.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 3-2: وصف التوزيعات - التباين (الصيغة العملية)، صفحة 81)
4- إذا كانت دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي $X$ معرفة كالآتي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{4-x}{6} & 0 \le x \le 2 \\ 0 & O.W \end{cases}$$ فإن ---------- = $P(1 \le x \le 3)$ يساوي : شرح السؤال ⚙️ انتبه لنطاق الدالة: الدالة معرفة فقط حتى $x=2$. فالمساحة من $2$ إلى $3$ هي صفر. احسب فقط مساحة شبه المنحرف من $x=1$ إلى $x=2$. $\frac{2}{3}$ $\frac{5}{12}$ $0$ $1$ الإجابة الصحيحة هي ($\frac{5}{12}$).🧠 المفهوم الإحصائي: لحساب احتمال متغير متصل، نوجد المساحة تحت دالة الكثافة. الدالة خطية، لذا نحسب مساحة شبه المنحرف. لكن الفخ هنا هو أن الدالة تصبح قيمتها صفراً بعد $x=2$.⚙️ خطوات الحل:1. المطلوب هو $P(1 \le x \le 3)$. وبما أن الدالة معرفة للصفر بعد $2$، فإننا نكتفي بحساب المساحة في الفترة من $x=1$ إلى $x=2$.2. نوجد قيمة الدالة (الارتفاعات) عند الأطراف:عند $x=1 \implies f(1) = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6} = 0.5$عند $x=2 \implies f(2) = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$3. نحسب مساحة شبه المنحرف:المساحة = $\frac{1}{2} \times \text{العرض} \times \text{مجموع القاعدتين}$العرض (المسافة على السينات) = $2 - 1 = 1$.$$P = \frac{1}{2} \times 1 \times \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)$$4. بتوحيد المقامات للقاعدتين (المقام $6$):$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$5. إذن المساحة (الاحتمال):$$P = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$$(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها، الدرس 2-2: حساب مساحات الدوال المستمرة، صفحة 70)
