1- المتغير العشوائي المتقطع $X$ نستطيع التعبير عن التوزيع الاحتمالي بدالة كتلة الاحتمال $f(x) = P(X = x)$ شرح السؤال 📖 سؤال تعريفي: هل نستخدم مصطلح "دالة كتلة الاحتمال" للتعبير عن التوزيعات المتقطعة أم المستمرة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: يُعبر عن التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع بصيغة رياضية تُسمى "دالة كتلة الاحتمال" (Probability Mass Function). تعطي هذه الدالة مباشرة احتمال أن يأخذ المتغير $X$ قيمة محددة $x$، وتكتب بالصيغة: $f(x) = P(X = x)$.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع، صفحة 62)
2- إذا كانت $\sigma = 1.135$ ، $\sum x^2 f(x) = 10.9$ ، $\sum x = 9.61$ فإن العبارة: شرح السؤال ⚙️ فخ رياضي: هناك خطأ منهجي في المعطيات. حسب التباين $\sigma^2$ باستخدام $(\sigma)^2$. ثم استخدم الصيغة العملية $\sigma^2 = \sum x^2 f(x) - \mu^2$. هل يمكن أن تكون $\mu^2$ سالبة أو غير متطابقة مع المعطى $\sum x$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: يختبر هذا السؤال التناسق الرياضي لقانون التباين: $\sigma^2 = \sum x^2 f(x) - \mu^2$.⚙️ خطوات إثبات الخطأ:1. معطى الانحراف المعياري $\sigma = 1.135$. إذن التباين $\sigma^2 \approx 1.288$.2. نعوض في قانون التباين:$$1.288 = 10.9 - \mu^2$$$$\mu^2 = 10.9 - 1.288 = 9.612$$3. إذن، مربع الوسط الحسابي هو $\mu^2 \approx 9.61$. وهذا يعني أن $\mu = \sqrt{9.61} = 3.1$.4. السؤال يقول أن $\sum x = 9.61$. أولاً الرمز الإحصائي الصحيح للمتوسط هو $\sum x f(x)$ وليس $\sum x$. ثانياً، الرقم $9.61$ هو قيمة مربع المتوسط ($\mu^2$) وليس المتوسط نفسه. بسبب هذا التناقض والخطأ في صياغة المعادلة، العبارة خاطئة إحصائياً.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 3-2: التباين - الصيغة العملية، صفحة 81)
3- المساحة الكلية المحصورة بين المنحنى الذي يمثل دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات مساوية للصفر شرح السؤال 💡 تذكر مسلمات الاحتمال: المساحة تحت منحنى الكثافة تمثل "الاحتمال الكلي" لجميع النتائج الممكنة. كم يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات المؤكدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ). 🧠 المفهوم الإحصائي: المساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال (للمتغير المتصل) ومحور السينات تُمثل احتمال "الحدث المؤكد" (أي احتمال أن يأخذ المتغير أي قيمة من قيمه الممكنة). وبالتالي، يجب أن تكون هذه المساحة الكلية مساوية دائماً للواحد الصحيح ($1$)، وليس للصفر. المساحة الصفرية تعني حدثاً مستحيلاً. (الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: شرطي دالة كثافة الاحتمال، صفحة 67)
4- إذا ألقينا قطعة نقود واحدة ثلاث مرات ، كان المتغير العشوائي $X$ يمثل عدد المرات التي نحصل فيها على وجه ، فإن القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي $X$ هي: شرح السؤال 💡 لا تنس الصفر: عند رمي العملة 3 مرات، من الممكن ألا تحصل على أي وجه إطلاقاً (كلها كتابة). إذن ما هو أصغر رقم يمكن أن يأخذه المتغير؟ وما هو الأكبر؟ $1 , 2 , 3$ $1 , 2$ $0 , 1 , 2$ $0 , 1 , 2 , 3$ الإجابة الصحيحة هي ($0 , 1 , 2 , 3$).🧠 المفهوم الإحصائي: المتغير العشوائي $X$ (عدد مرات النجاح) في تجربة تتبع ذات الحدين (مثل إلقاء النقود عدة مرات) يأخذ قيماً صحيحة تبدأ دائماً من الصفر (حالة الفشل التام) وتنتهي بعدد المحاولات الكلي $n$ (حالة النجاح التام).⚙️ التفصيل:- $X = 0$: عدم ظهور أي وجه (TTT).- $X = 1$: ظهور وجه واحد (HTT, THT, TTH).- $X = 2$: ظهور وجهين (HHT, HTH, THH).- $X = 3$: ظهور ثلاثة أوجه (HHH).لذا فإن مجموعة القيم هي $\{0, 1, 2, 3\}$.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 1-1-2: المتغيرات المتقطعة، مثال مشابه 2-2 صفحة 60)
