1- إذا ألقينا مكعب نرد مرة واحدة ، وكان المتغير العشوائي $X$ يمثل العدد الذي يظهر على الوجه ، فإن قيم المتغير العشوائي $x$ هي $0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ شرح السؤال 💡 بديهية التجربة: تذكر شكل مكعب النرد التقليدي الذي نلعب به. ما هي الأرقام المطبوعة على أوجهه؟ هل يوجد وجه يحمل الرقم $0$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 الحل بالحدس والاستبعاد: مكعب النرد يتكون من $6$ أوجه مرقمة بالنقاط من $1$ إلى $6$. من المستحيل الحصول على الرقم $0$ عند رمي النرد، لذا فإدراج الرقم $0$ ضمن قيم المتغير العشوائي يجعل العبارة خاطئة فوراً.🧠 المفهوم الإحصائي: المتغير العشوائي المتقطع يأخذ قيماً تعبر عن جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية. فراغ العينة هنا هو $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$، وبالتالي فإن قيم $x$ يجب أن تقتصر على هذه الأرقام الستة فقط.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 1-1-2: المتغير العشوائي المتقطع، مثال 2-1، صفحة 59)
2- عند إلقاء $3$ قطع نقود متزنة معاً مرة واحدة ، وكان المتغير العشوائي $X$ يمثل عدد الأوجه التي نحصل عليها فإن $P(X=4) = \frac{1}{2}$ شرح السؤال 🎯 فكر بالمنطق: أنت ترمي $3$ قطع نقود فقط. هل من الممكن فيزيائياً الحصول على $4$ أوجه (صور)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 الحل بالحدس والاستبعاد: التجربة تتضمن رمي $3$ قطع نقود. الحد الأقصى للأوجه (الصور) التي يمكن ظهورها هو $3$. لذلك، الحصول على $4$ أوجه هو "حدث مستحيل" لا يمكن وقوعه أبداً. احتمال أي حدث مستحيل هو صفر ($0$) وليس $\frac{1}{2}$.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها، الدرس 1-1-2: المتغير العشوائي المتقطع، صفحة 60)
3- المتغير العشوائي الذي يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها وقابلة للعد هو: شرح السؤال 📖 تصنيف المتغيرات: متغير يأخذ قيماً مثل ($0$، $1$، $2$، $3$) ولا يقبل قيماً كسرية مستمرة بينها، ماذا نُسميه؟ المتغير العشوائي الاحتمال الحدث المتغير العشوائي المتقطع الإجابة الصحيحة هي (المتغير العشوائي المتقطع).🧠 المفهوم الإحصائي: المتغيرات العشوائية تنقسم لنوعين:1. المتقطعة (المنفصلة): تأخذ قيماً صحيحة يمكن حصرها وعدها (كعدد الحوادث، أو عدد الطلاب).2. المستمرة (المتصلة): تأخذ أي قيمة ضمن فترة معينة (كالأطوال، الأوزان، أو الزمن) ولا يمكن حصرها أو عدها بالوحدات المنفصلة.السؤال هنا يصف المتغير المتقطع بدقة.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها، الدرس 1-1-2: المتغيرات العشوائية المتقطعة، صفحة 59)
4- إذا كانت دالة كتلة الاحتمال للمتغير العشوائي $X$ هي: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{k} & x = 1,2,3,4,5 \\ 0 & \text{خلاف ذلك} \end{cases} $$ فإن قيمة الثابت $k$ التي تجعل الدالة احتمالية تساوي شرح السؤال ⚙️ الشرط الأساسي: اجمع الاحتمالات لكل قيم المتغير $X$ (من 1 إلى 5) واساوِ المجموع بالعدد $1$. كيف تحل المعادلة الناتجة لمعرفة $k$؟ $3$ $4$ $2$ $5$ الإجابة الصحيحة هي ($5$). 🧠 المفهوم الإحصائي: الشرط الرياضي لكي تعتبر الدالة "دالة كتلة احتمالية" لتوزيع متقطع هو أن يكون مجموع الاحتمالات لجميع قيم المتغير يساوي الواحد الصحيح $\sum f(x) = 1$. ⚙️ خطوات الحل: 1. قيم $X$ هي $1, 2, 3, 4, 5$. (أي لدينا $5$ قيم). 2. الدالة تعطي نفس الاحتمال $\frac{1}{k}$ لكل قيمة. 3. نجمع هذه الاحتمالات ونساويها بالواحد: $$\sum f(x) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 1$$ $$\frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = 1$$ $$\frac{5}{k} = 1$$ 4. بالضرب التبادلي نستنتج أن: $$k = 5$$ (الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية، الدرس 2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع، مثال مباشر تمرين رقم 5 صفحة 73)
