الإجابة الصحيحة هي (صح).

🧠 المفهوم الإحصائي: التجانس هو التبرير الأقوى لاستخدام أسلوب العينات. عندما يكون المجتمع متجانساً (أي مفرداته تمتلك نفس الخصائص تقريباً)، فإن دراسة عينة صغيرة جداً ستعطينا نتائج مطابقة تماماً لدراسة المجتمع بأسره. في هذه الحالة، استخدام الحصر الشامل يُعتبر إهداراً للمال والوقت دون أي فائدة إحصائية تُذكر.

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 1-4: أسباب تفضيل العينة على الحصر الشامل، صفحة 120)

الإجابة الصحيحة هي ($n - 1$).

🧠 المفهوم الإحصائي: عندما نكون بصدد المعاينة من مجتمع طبيعي ونستخدم الانحراف المعياري للعينة ($S$) كبديل عن الانحراف المعياري المجهول للمجتمع ($\sigma$)، وكان حجم العينة صغيراً ($n < 30$)، فإن المتغير الإحصائي لا يتبع توزيع $Z$، بل يتبع توزيع $t$ لستيودنت.

يعتمد شكل منحنى توزيع $t$ على معلمة تُسمى "درجات الحرية" (Degrees of Freedom) ويُرمز لها بالرمز $\nu$. وتُحسب درجات الحرية للعينة الواحدة بالقانون: $\nu = n - 1$.

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 5-4: المعاينة بتباين مجهول وحجم صغير، صفحة 132 / والفصل الثالث صفحة 111)

الإجابة الصحيحة هي ($0.0066$).

🧠 المفهوم الإحصائي: هذه المسألة تختبر الانتباه لقاعدة "معامل تصحيح المجتمعات المحدودة (fpc)". بما أن السحب "بدون إرجاع" ونسبة العينة للمجتمع $\frac{n}{N} = \frac{64}{1000} = 0.064$ وهي أكبر من $0.05$، فإن استخدام معامل التصحيح إلزامي لتعديل الخطأ المعياري.

⚙️ خطوات الحل:
1. المعطيات: $\mu = 163.5$ ، $\sigma^2 = 25 \implies \sigma=5$ ، $N = 1000$ ، $n = 64$. المطلوب $P(\bar{X} < 162)$.
2. حساب الخطأ المعياري المُصحح:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{5}{8} \times \sqrt{\frac{1000-64}{999}}$$
$$\sigma_{\bar{x}} = 0.625 \times \sqrt{0.9369} \approx 0.625 \times 0.9679 \approx 0.605$$
3. تحويل القيمة $\bar{X} = 162$ لـ $Z$:
$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{162 - 163.5}{0.605} = \frac{-1.5}{0.605} \approx -2.48$$
المطلوب هو $P(Z < -2.48)$، وهي مساحة الذيل الأيسر.
4. استنتاج الاحتمال النهائي:
بالتماثل، مساحة الذيل الأيسر = $0.5 - P(0 < Z < 2.48)$
$$P = 0.5 - 0.4934 = 0.0066$$

⚠️ انتبه (Tricks): لو تجاهل الطالب معامل التصحيح، ستكون $Z = \frac{-1.5}{0.625} = -2.4$، ولن يجد لها قيمة جدولية مطابقة ضمن المعطيات، مما يؤكد ضرورة الانتباه للشروط.

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة بوجود معامل التصحيح، صفحة 129)

الإجابة الصحيحة هي ($\frac{n}{N} \leq 0.05$).

🧠 المفهوم الإحصائي: يُستخدم معامل تصحيح المجتمعات المحدودة (Finite Population Correction) عند حساب الخطأ المعياري في حالات السحب بدون إرجاع من مجتمع محدود.

ومع ذلك، كقاعدة إحصائية (Rule of thumb)، إذا كان حجم العينة ($n$) يمثل نسبة صغيرة جداً من حجم المجتمع ($N$)، وتحديداً أقل من أو يساوي $5\%$ (أي $\frac{n}{N} \leq 0.05$)، فإن قيمة الكسر $\frac{N-n}{N-1}$ ستكون قريبة جداً من الواحد ($0.99...$).

ولأن الضرب في $1$ لا يُغير القيمة، فإننا نُهمل استخدام هذا المعامل لتسهيل الحسابات ونعتبر المجتمع كأنه لا نهائي.

(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، الدرس 4-4: المعاينة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، صفحة 128)