1- إذا علمت أن $P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938$ ، فإن $P(-2.5 \le Z \le 2.5)$ يساوي $0.8976$ شرح السؤال ⚙️ قاعدة التماثل: المساحة من المركز إلى نقطة معينة هي نصف المساحة المحصورة بين نفس النقطة بقيمتيها الموجبة والسالبة. اضرب القيمة المعطاة في $2$ ولاحظ الناتج. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري متماثل تماماً حول الصفر. لحساب المساحة المحصورة بين قيمتين متساويتين ومختلفتي الإشارة $(-a \le Z \le a)$، نقوم ببساطة بضرب المساحة من $(0)$ إلى $(a)$ في $2$.⚙️ خطوات الحل:$$P(-2.5 \le Z \le 2.5) = 2 \times P(0 \le Z \le 2.5)$$$$2 \times 0.4938 = 0.9876$$الرقم المذكور في السؤال هو $0.8976$ وهو تلاعب مقصود بالأرقام.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: التوزيع الطبيعي المعياري، صفحة 107)
2- عدد القيم التي يأخذها المتغير العشوائي $X$ في توزيع ذات الحدين يساوي $1+n$ شرح السؤال 💡 تذكر الصفر: في توزيع ذات الحدين، المتغير $X$ يمثل عدد مرات النجاح في $n$ من المحاولات. ما هو أصغر عدد من النجاحات الممكنة؟ هل هو $1$ أم $0$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: المتغير العشوائي $X$ في توزيع ذات الحدين يعبر عن عدد المحاولات الناجحة. يمكن ألا تنجح أي محاولة إطلاقاً (أي $X=0$)، ويمكن أن تنجح كل المحاولات (أي $X=n$). وبالتالي فإن القيم الممكنة هي السلسلة: $0, 1, 2, \dots, n$.بما أننا بدأنا العد من الصفر وليس من الواحد، فإن إجمالي عدد القيم المتاحة يزيد بمقدار واحد عن عدد المحاولات الكلي، أي $(n+1)$.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
3- إذا علمت أن $P(0 \le Z \le 1.15) = 0.3749$ فإن $P(Z \le 1.15)$ يساوي $0.8749$ شرح السؤال ⚙️ تخيل المنحنى: المساحة المطلوبة ($Z \le 1.15$) تشمل النصف الأيسر بالكامل بالإضافة للمساحة المعطاة. اجمع $0.5$ مع الرقم المعطى. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: الاحتمال التراكمي للقيم الموجبة في التوزيع الطبيعي المعياري يتكون من قسمين: المساحة في النصف الأيسر (التي تساوي دائماً $0.5$) زائد المساحة المحصورة بين الصفر والقيمة الموجبة.⚙️ خطوات الحل:$$P(Z \le 1.15) = P(Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1.15)$$$$P(Z \le 1.15) = 0.5 + 0.3749 = 0.8749$$(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، التوزيع الطبيعي المعياري، مثال 3-2 صفحة 107)
4- تجربة ذات الحدين هي التي يكون فيها احتمال النجاح غير ثابت في جميع المحاولات شرح السؤال 💡 شروط التجربة: إذا كان احتمال النجاح يتغير من محاولة لأخرى، فهل يمكن تطبيق قانون ذات الحدين الذي يعتمد على احتمال ثابت ($p$)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: من أهم شروط تجربة ذات الحدين هو أن يبقى احتمال النجاح ($p$) ثابتاً ولا يتغير من محاولة لأخرى (استقلالية المحاولات). إذا تغير الاحتمال، فإن التجربة لا تتبع توزيع ذات الحدين.💡 إضاءة (تطبيق واقعي):في خط إنتاج المصابيح، احتمال أن يكون المصباح المعيوب هو $5\%$. هذا الاحتمال يبقى ثابتاً للمصباح الأول والثاني والألف. هذا الثبات هو ما يسمح لنا باستخدام قوانين ذات الحدين للتنبؤ بالإنتاج.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: شروط ذات الحدين، صفحة 89)
