1- إذا كان $x$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع ذي الحدين فإن تباين التوزيع = $ \mu q$ شرح السؤال 📖 الربط بين القوانين: ما هو قانون التباين لتوزيع ذات الحدين؟ وما هو قانون المتوسط $\mu$؟ ماذا يحدث لو عوضنا بالمتوسط في قانون التباين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح). 🧠 المفهوم الإحصائي: في توزيع ذات الحدين، يُحسب التباين بالصيغة الأساسية: $\sigma^2 = npq$. وبما أن المتوسط الحسابي (القيمة المتوقعة) يُعطى بالصيغة: $\mu = np$. بالتعويض المباشر عن قيمة $np$ بالمتوسط $\mu$ في قانون التباين، نحصل على الصيغة المستنتجة والمختصرة: $\sigma^2 = \mu q$. إذن العبارة صحيحة تماماً. (الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
2- في التوزيع الطبيعي المساحة التي على يمين الوسط الحسابي = $\frac{1}{2}$ شرح السؤال 💡 التماثل المثالي: شكل التوزيع الطبيعي يشبه الجرس المتماثل تماماً حول المنتصف (الوسط). إذا كانت مساحته الكلية $1$، فكم تساوي مساحة كل نصف؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: منحنى التوزيع الطبيعي هو منحنى ناقوسي الشكل ومتماثل تماماً حول مركزه (حيث يقع الوسط الحسابي $\mu$).بما أن المساحة الكلية تحت المنحنى تمثل الاحتمال الكلي وتساوي الواحد الصحيح ($1$)، فإن هذا الخط المركزي (الوسط) يقسم المنحنى إلى نصفين متطابقين تماماً.لذلك، المساحة على يمين الوسط تساوي $0.5$ (أو $\frac{1}{2}$)، والمساحة على يسار الوسط تساوي أيضاً $0.5$.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-2-3: خصائص التوزيع الطبيعي، صفحة 100)
3- إذا كان $x$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع بواسون بمعدل يساوي $\lambda$ ، فإن القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي $x$ يساوي تباين المتغير العشوائي $x$ شرح السؤال 💡 خاصية فريدة: ما هي الخاصية الرياضية التي تميز توزيع بواسون عن جميع التوزيعات الأخرى التي درستها فيما يخص المتوسط والتباين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: من الخصائص الرياضية الفريدة لتوزيع بواسون هو أن قيمة القيمة المتوقعة (الوسط الحسابي $\mu$) تساوي تماماً قيمة التباين ($\sigma^2$)، وكلاهما يساوي معلمة التوزيع الأساسية $\lambda$ (معدل وقوع الحدث في الفترة الزمنية).أي أن: $E(x) = \mu = \sigma^2 = \lambda$.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
4- تباين توزيع $t$ ---------- شرح السؤال 💡 ضريبة الجهل: توزيع $t$ نستخدمه عندما نجهل تباين المجتمع الأصلي. هذا الجهل يكلفنا أن يكون توزيع $t$ أكثر تشتتاً من التوزيع الطبيعي المعياري الذي تباينه $1$. أكبر من الواحد الصحيح الموجب يساوي صفر أصغر من الواحد الصحيح الموجب يساوي الواحد الصحيح الموجب الإجابة الصحيحة هي (أكبر من الواحد الصحيح الموجب).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):التوزيع الطبيعي المعياري $Z$ هو التوزيع المثالي، ونستطيع استخدامه عندما نعلم تباين المجتمع $\sigma^2$، ويكون تباين التوزيع $Z$ ثابتاً ويساوي $1$.ولكن في أغلب الأبحاث الواقعية، لا يمكننا معرفة تباين المجتمع الأصلي فنقدره من خلال عينة. هذا التقدير يُدخل نسبة من القصور في بياناتنا. لتغطية هذا القصور، يعتمد الإحصائيون على توزيع $t$، والذي يكون شكله أكثر تفلطحاً وتشتتاً من $Z$. هذا التفلطح يضمن أن تباينه أوسع ويكون إجبارياً أكبر من الواحد الصحيح ($\sigma^2 > 1$).(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: توزيع t، صفحة 111)
