1- $X$ متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ، فالقيم التي يأخذها هي $x = 1 , 2 , 3 , \dots$ شرح السؤال 💡 فكر في الصفر: توزيع بواسون يمثل عدد مرات وقوع حدث في فترة زمنية. ألا يمكن ألا يقع الحدث أبداً خلال هذه الفترة؟ إذن، هل يجب أن تبدأ قيم المتغير من $1$ أم من رقم آخر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: توزيع بواسون يُستخدم لعدّ مرات حدوث ظاهرة معينة (مثل عدد الحوادث أو عدد المكالمات). من الممكن جداً ألا يقع الحدث إطلاقاً خلال الفترة الزمنية، ولذلك فإن قيم المتغير العشوائي $x$ يجب أن تبدأ من الصفر ($0$).القيم الصحيحة هي: $x = 0, 1, 2, 3, \dots$(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
2- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع ذات الحدين ، كان $x = n$ يعني أن كل المحاولات ناجحة شرح السؤال 📖 ترجمة الرموز: ماذا يمثل الحرف $n$ في توزيع ذات الحدين؟ وماذا يمثل المتغير $x$؟ ماذا يحدث عندما يتطابقان؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: في توزيع ذات الحدين:- المعلمة $n$ تعبر عن العدد الكلي للمحاولات.- المتغير العشوائي $x$ يعبر عن عدد المحاولات الناجحة.لذلك، عندما يأخذ المتغير قيمة مساوية لعدد المحاولات الكلي ($x = n$)، فإن هذا يعني رياضياً ومنطقياً أن جميع المحاولات التي قمنا بها قد تكللت بالنجاح، ولم تحدث أي حالة فشل.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
3- التباين والوسط الحسابي لتوزيع بواسون متساويان شرح السؤال 💡 خاصية التوزيع: توزيع بواسون يتميز بخصيصة فريدة تربط بين مقياس النزعة المركزية ومقياس التشتت لديه بمعلمة واحدة ($\lambda$). هل هما متطابقان؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح). 🧠 المفهوم الإحصائي: من الخصائص الرياضية الفريدة لتوزيع بواسون (والتي تميزه عن بقية التوزيعات) هو أن قيمة الوسط الحسابي ($\mu$) تساوي تماماً قيمة التباين ($\sigma^2$)، وكلاهما يساوي معلمة التوزيع الأساسية $\lambda$ (معدل وقوع الحدث). أي أن: $\mu = \sigma^2 = \lambda$. (الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
4- إذا علمت أن بدالة ما تستقبل في فترة دوام الموظفين في المتوسط مكالمتين في الدقيقة الواحدة ، فإن احتمال أن تستقبل البدالة مكالمة واحدة في الدقيقة القادمة يساوي: شرح السؤال 💡 حدد التوزيع: نتحدث عن متوسط وقوع أحداث خلال فترة زمنية، وهذا يعني توزيع بواسون. حدد $\lambda$ وقيمة $x$ المطلوبة، ثم عوض في القانون. $e^2$ $2e^2$ $e^{-2}$ $2e^{-2}$ الإجابة الصحيحة هي ($2e^{-2}$). 🧠 المفهوم الإحصائي: هذه مسألة كلاسيكية لتوزيع بواسون الذي يُستخدم لحساب احتمالات عدد مرات وقوع حدث نادر أو عشوائي خلال وحدة زمنية محددة. ⚙️ خطوات الحل: 1. استخراج المعطيات: المعلمة (متوسط المكالمات): $\lambda = 2$ الحدث المطلوب (مكالمة واحدة): $x = 1$ 2. قانون توزيع بواسون: $$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$ 3. التعويض في القانون: $$P(1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!}$$ بما أن $1! = 1$ و $2^1 = 2$، إذن: $$P(1) = 2e^{-2}$$ (الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، مثال 3-6 صفحة 97)
