الإجابة الصحيحة هي (صح).

🧠 المفهوم الإحصائي: التباين في توزيع ذات الحدين يُعطى بالقانون الشهير $\sigma^2 = npq$.

⚙️ خطوات الإثبات:

1. نعلم أن احتمال النجاح $p$ واحتمال الفشل $q$ مرتبطان بالعلاقة: $p = 1 - q$.

2. بالتعويض عن $p$ في قانون التباين:

$$\sigma^2 = n (1 - q) q$$

3. نقوم بتوزيع الضرب (نضرب $nq$ في القوس):

$$\sigma^2 = nq (1) - nq (q)$$

$$\sigma^2 = nq - nq^2$$

النتيجة تتطابق مع الصيغة الموجودة في السؤال.

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)

الإجابة الصحيحة هي (خطأ).

🧠 المفهوم الإحصائي: دالة كثافة الاحتمال لتوزيع $t$ لا تعتمد على التباين (الذي غالباً ما يكون مجهولاً عند استخدامه)، بل تعتمد على معلمة واحدة أساسية وهي درجات الحرية (Degrees of Freedom) ويُرمز لها بـ $\nu$ حيث $\nu = n - 1$. وكلما زادت درجات الحرية، اقترب شكل توزيع $t$ من التوزيع الطبيعي المعياري.

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-2-3: توزيع t، صفحة 111)

الإجابة الصحيحة هي (صح).

🧠 المفهوم الإحصائي: منحنى التوزيع الطبيعي يعتمد على التباين ($\sigma^2$) لتحديد مدى التشتت والتفلطح (شكل المنحنى)، وعلى الوسط ($\mu$) لتحديد موقع التمركز.
بما أن التباين متساوٍ في كلا التوزيعين، فإن لهما نفس الشكل الدقيق (تطابق وتماثل في الرسم)، ولكنهما متباعدان على محور السينات بسبب اختلاف وسطيهما الحسابيين.

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-2-3: التوزيع الطبيعي وميزاته، صفحة 102)

الإجابة الصحيحة هي ($0.0228$).

🎯 الحل بالحدس والاستبعاد: بما أن المتوسط الحسابي للدخل هو $250$ ديناراً، فإن احتمال اختيار عائلة دخلها أقل من المتوسط ($250$) هو النصف تماماً ($0.5$). القيمة المطلوبة في السؤال هي ($210$)، وهي أقل من المتوسط بمقدار لا بأس به (40 دينار ويمثل انحرافيين معياريين)، مما يعني أن الاحتمال المطلوب يجب أن يكون أصغر بكثير من $0.5$. هذا الاستنتاج المنطقي السريع يسمح لك باستبعاد الخيارين الكبيرين ($0.9772$ و $0.8221$) فوراً. إضافة إلى ذلك، القيمة $210$ تبعد انحرافين معياريين كاملين أسفل المتوسط (الفرق $40$ مقسوماً على الانحراف $20$)، مما يضعنا في منطقة الذيل الأيسر المتطرف للمنحنى الطبيعي؛ ليبقى الخيار محصوراً منطقياً بين القيمتين الصغيرتين المتبقيتين ($0.0228$ و $0.0544$)، وتأتي خطوات الحل الرياضي لتؤكد القيمة الدقيقة.

🧠 المفهوم الإحصائي: نستخدم التحويل القياسي $Z$ لإيجاد المساحة (الاحتمال) تحت منحنى التوزيع الطبيعي. بما أننا اخترنا "عائلة واحدة"، فلا نتعامل مع توزيع المعاينة، بل نستخدم الانحراف المعياري للمجتمع $\sigma$ مباشرة.

⚙️ خطوات الحل:
1. تحديد المعطيات: $\mu = 250$ ، $\sigma = 20$ ، المطلوب $P(X < 210)$.
2. التحويل للمعياري $Z$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{210 - 250}{20} = \frac{-40}{20} = -2$$
إذن المطلوب هو $P(Z < -2)$.
3. حساب المساحة:
المساحة $P(Z < -2)$ هي نفس مساحة الذيل الأيمن $P(Z > 2)$ للتماثل.
المساحة المعطاة من $0$ إلى $2$ هي $0.4772$.
مساحة النصف الأيمن أو الأيسر بالكامل هي $0.5$.
لإيجاد مساحة الذيل، نطرح المساحة الجدولية من النصف:
$$P(Z < -2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$$

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: التوزيع الطبيعي، صفحة 106)