الإجابة الصحيحة هي ($0.0436$).

🧠 المفهوم الإحصائي: لحساب احتمالات التوزيع الطبيعي، نحول القيم الأصلية ($X$) إلى قيم معيارية ($Z$)، ثم نستخدم المساحات تحت المنحنى الطبيعي المعياري.

⚙️ خطوات الحل:
1. استخراج المعطيات:
المتوسط $\mu = 100$
التباين $\sigma^2 = 49 \implies$ الانحراف المعياري $\sigma = 7$
2. تحويل $X = 112$ إلى الدرجة المعيارية $Z$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{112 - 100}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.71$$
3. حساب الاحتمال المطلوب $P(X > 112)$:
هذا يعادل $P(Z > 1.71)$.
نعلم أن نصف المساحة تحت المنحنى هو $0.5$. المساحة من الصفر إلى $1.71$ معطاة ($0.4564$).
لإيجاد المساحة الأكبر من $1.71$ (الذيل الأيمن):
$$P(Z > 1.71) = 0.5 - P(0 \leq Z \leq 1.71)$$
$$P(Z > 1.71) = 0.5 - 0.4564 = 0.0436$$

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: التوزيع الطبيعي، صفحة 106)

الإجابة الصحيحة هي ($e^{-3}$).

🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):
هذا الموقف هو تطبيق مثالي لتوزيع "بواسون". يُستخدم هذا التوزيع لنمذجة الأحداث التي تقع بشكل عشوائي ومستقل عبر فترة زمنية أو مساحة محددة، مثل: عدد المرضى الواصلين إلى الطوارئ في ساعة، أو عدد السيارات التي تمر عبر بوابة رسوم في دقيقة.
لإيجاد الاحتمالات، نحتاج فقط لمعرفة معدل الحدوث أو المتوسط السائد ($\lambda$). هنا $\lambda = 3$.

🧠 المفهوم الإحصائي:
هذا الموقف يتبع توزيع بواسون، حيث يُستخدم لنمذجة عدد المرات التي يقع فيها حدث معين خلال فترة زمنية أو مكانية ثابتة، بمتوسط حدوث معلوم ($\lambda$).

⚙️ خطوات الحل:
1. المعلمة (متوسط التردد): $\lambda = 3$ أشخاص/دقيقة.
2. المطلوب هو احتمال عدم وجود أي شخص، أي $x = 0$.
3. دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون هي:
$$P(x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
4. بالتعويض:
$$P(0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!}$$
بما أن $3^0 = 1$ و $0! = 1$، فإن:
$$P(0) = e^{-3}$$

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، صفحة 95)

الإجابة الصحيحة هي ($4$).

🧠 المفهوم الإحصائي: في توزيع بواسون، المتوسط الحسابي ($\mu$) والتباين ($\sigma^2$) متساويان وكلاهما يساوي المعلمة ($\lambda$). دالة الاحتمال هي: $P(X) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$

⚙️ خطوات الحل:
1. نكتب المعطى كمعادلة: $P(X=2) = 8 P(X=0)$
2. نعوض في دالة بواسون:
$$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 8 \left( \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} \right)$$
3. نختصر $e^{-\lambda}$ من الطرفين، وبما أن $0! = 1$ و $\lambda^0 = 1$، تصبح المعادلة:
$$\frac{\lambda^2}{2} = 8$$
4. نضرب الطرفين في $2$:
$$\lambda^2 = 16 \implies \lambda = 4$$
5. التباين = $\lambda = 4$.

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)

الإجابة الصحيحة هي ($0.9772$).

🧠 المفهوم الإحصائي: القيمة $(\mu + 2\sigma)$ تبعد انحرافين معياريين إلى يمين الوسط الحسابي. إذا قمنا بتحويلها للتوزيع الطبيعي المعياري $Z$:
$$Z = \frac{(\mu + 2\sigma) - \mu}{\sigma} = \frac{2\sigma}{\sigma} = 2$$
فالمطلوب هو حساب المساحة $P(Z \leq 2)$.

⚙️ خطوات الحل:
1. المساحة $P(Z \leq 2)$ تتكون من النصف الأيسر كاملاً ($0.5$) زائد المساحة من $0$ إلى $2$.
2. من جداول التوزيع الطبيعي المعياري، المساحة $P(0 \leq Z \leq 2) = 0.4772$.
3. إذن:
$$P(Z \leq 2) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772$$

💡 إضاءة إضافية: من القاعدة التجريبية للمنحنى، المساحة بين $-2\sigma$ و $+2\sigma$ هي $95.44\%$. النصف الأيمن منها هو $\frac{0.9544}{2} = 0.4772$. وبإضافة النصف الأيسر كاملاً ($0.5$) نحصل على نفس النتيجة.

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: التوزيع الطبيعي، صفحة 103)