1- إذا كان $P(A/B) = P(B/A)$ فإن $A, B$ حدثين متنافيين. شرح السؤال ⚙️ فكك القانونين: الاحتمال الشرطي يعتمد على التقاطع مقسوماً على الاحتمال الأصلي. متى يتساوى الكسران؟ عندما يتساوى المقامان. هل هذا يعني أن الحدثين متنافيين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي:دعنا نحلل العبارة رياضياً لنجد سبب خطئها. قانونا الاحتمال الشرطي هما:$$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$$$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$إذا تساوى الطرفان ($P(A/B) = P(B/A)$)، والتقاطع لا يساوي صفراً، فهذا يقتضي رياضياً أن المقامين متساويان، أي أن: $P(A) = P(B)$.هذا التساوي يعني أن الحدثين لهما نفس فرصة الحدوث، ولكنه لا يعني أبداً أنهما "متنافيين". الأحداث المتنافية تعني أن تقاطعهما صفر ($P(A \cap B) = 0$).(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 9-1: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
2- إذا كان $B'$ هو الحدث المكمل للحدث $B$ فإن $P(B \cap B')' = 1$ شرح السؤال ⚙️ حلها خطوة بخطوة: ما هو ناتج تقاطع الحدث مع مكمله $(B \cap B')$؟ إنه الحدث المستحيل (صفر). وما هو مكمل الحدث المستحيل (علامة الشرطة $'$ خارج القوس)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: تعتمد هذه العبارة على فهم تقاطع المجموعات والأحداث المكملة.⚙️ خطوات الإثبات:1. الحدث $B$ ومكمله $B'$ هما حدثان متنافيان تماماً، أي لا يوجد بينهما أي عناصر مشتركة.2. إذن، تقاطعهما يعطي المجموعة الخالية (الحدث المستحيل): $(B \cap B') = \phi$3. العبارة تطلب احتمال مكمل هذا التقاطع، أي مكمل المجموعة الخالية $(\phi)'$.4. مكمل المجموعة الخالية (الحدث المستحيل) هو فراغ العينة بالكامل (الحدث المؤكد $S$).5. احتمال الحدث المؤكد يساوي $1$:$$P(\phi') = P(S) = 1$$(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: الحدث المكمل، صفحة 12)
3- التباديل هو أسلوب إحصائي يوضح عدد طرق اختيار ($r$) من العناصر من بين مجموعة تحتوي على ($n$) من العناصر وبدون إرجاع مع عدم مراعاة الترتيب عند إجراء عملية الاختيار. شرح السؤال 📖 التباديل مقابل التوافيق: التباديل تُستخدم لترتيب الأرقام السرية (حيث الترتيب مهم جداً). فهل حقاً التباديل "لا تراعي الترتيب"؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):هناك فرق جوهري بين التباديل والتوافيق يكمن في كلمة الترتيب.- التباديل ($P$): نستخدمها عندما يكون الترتيب مهماً. (مثل ترتيب جلوس أشخاص في مقاعد، أو اختيار رئيس ونائب).- التوافيق ($C$): نستخدمها عندما يكون الترتيب غير مهم (عدم مراعاة الترتيب). (مثل اختيار لجنة من 3 أشخاص بغض النظر عن مناصبهم).السؤال وصف حالة "عدم مراعاة الترتيب"، وهذا هو تعريف التوافيق وليس التباديل.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 5-1: طرق العد، التباديل والتوافيق، صفحة 17 و 20)
4- إذا كان $A$ حدثاً ليس مؤكداً فإن: $0 \le P(A) < 1$ شرح السؤال 💡 استبعاد اليقين: الحدث المؤكد احتماله $1$. إذا كان الحدث "ليس مؤكداً"، فهذا يعني أن احتماله لا يمكن أن يصل إلى $1$. هل المتباينة تعبر عن ذلك؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: المسلمة الأولى للاحتمالات تنص على أن أي احتمال يقع في المدى: $0 \le P(A) \le 1$.بما أن السؤال وضع شرطاً بأن الحدث $A$ ليس مؤكداً، فهذا يستبعد إمكانية أن يكون احتماله مساوياً للواحد الصحيح (لأن الحدث المؤكد احتماله $1$ دائماً).بناءً على ذلك، يتم استبعاد علامة التساوي ($=$) من الجهة اليمنى للمتباينة، وتصبح الصيغة الرياضية الدقيقة للحدث غير المؤكد هي: $0 \le P(A) < 1$.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 7-1: مسلمات الاحتمال، صفحة 29 و 30)
