1- إذا كان $A , B$ حدثين غير مستقلين (شرطيين) ، وعلمت إن الحدث $A$ يعتمد في حدوثه على الحدث $B$ فإن : $P(A \cap B) = P(B) P(A/B)$ شرح السؤال ⚙️ قانون الضرب: إذا كان الحدث $A$ يعتمد على وقوع $B$ أولاً، فكيف نكتب احتمال وقوعهما معاً (التقاطع)؟ ابدأ باحتمال الحدث الذي وقع أولاً، واضربه في الاحتمال الشرطي للثاني. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: قانون ضرب الاحتمالات للأحداث غير المستقلة ينص على أن احتمال وقوع الحدثين معاً يساوي احتمال وقوع الحدث الأول مضروباً في احتمال وقوع الحدث الثاني بشرط وقوع الأول. بما أن $A$ يعتمد على $B$، فهذا يعني أن $B$ يقع، ثم يقع $A$ بناءً عليه. لذلك: $$P(A \cap B) = P(B) \times P(A/B)$$ والصيغة المكتوبة في السؤال صحيحة تماماً.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 10-1: قانون ضرب الاحتمالات لحدثين غير مستقلين، صفحة 44)
2- إذا كان $A , B$ حدثين مستقلين ، وكان $P(A) = 0.4$ ، $P(B) = 0.7$ فإن $P(A \cap B) = 0$ شرح السؤال 💡 الاستقلال مقابل التنافي: هل الأحداث المستقلة تقاطعها صفر؟ متى يكون التقاطع صفراً؟ تذكر قانون ضرب الأحداث المستقلة. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: الحدثان المستقلان يقعان معاً باحتمال يساوي حاصل ضرب احتماليهما: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$التقاطع يساوي صفراً ($0$) فقط إذا كان الحدثان متنافيين (مستحيلي الوقوع معاً).⚙️ خطوات الحل:1. بناءً على الاستقلالية:$$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.7 = 0.28$$2. بما أن الناتج هو $0.28$ وليس $0$، فإن العبارة خاطئة تماماً.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 10-1: قانون الضرب لحدثين مستقلين، صفحة 45)
3- يُعرف الاحتمال رياضياً بأنه دالة نطاقها فراغ العينة ومداها فئة الأعداد الصحيحة شرح السؤال 📖 المدى الاحتمالي: هل يمكن للاحتمال أن يكون عدد صحيح مثل $2$ أو $5$ أو سالب؟ أين تقع قيم الاحتمالات دائماً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: دالة الاحتمال هي بالفعل دالة نطاقها فراغ العينة، ولكن مداها هو فئة الأعداد الحقيقية المحصورة بين $0$ و $1$ (أي الفئة $[0, 1]$).الأعداد الصحيحة تشمل أرقاماً مثل $2, 3, -1, -5$ وهذه مستحيلة كقيم احتمالية بحسب المسلمة الأولى للاحتمالات.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 7-1: مسلمات الاحتمال، صفحة 29)
4- الاحتمال التجريبي يزداد قرباً من الاحتمال الحقيقي كلما زاد عدد مرات إجراء التجربة. شرح السؤال 📖 قانون الأعداد الكبيرة: إذا رميت عملة $10$ مرات قد تحصل على $7$ صور (نسبة $70\%$). لكن إذا رميتها $1000$ مرة، إلى أي نسبة سيقترب الناتج؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: الاحتمال التجريبي (قانون التكرار النسبي) يُبنى على التجربة الفعلية. ينص القانون على أنه كلما زاد عدد مرات تكرار التجربة في نفس الظروف ($n \to \infty$)، فإن التكرار النسبي للحدث يقترب بشكل كبير من الاحتمال النظري الحقيقي المحسوب بالطريقة الكلاسيكية.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 6-1: الطريقة التجريبية، صفحة 28)
