1- في تجربة إلقاء $3$ قطع نقدية فإن حدث الحصول على $3$ صور على الأقل هو حدث مؤكد شرح السؤال 💡 تفكيك العبارة: ماذا تعني "$3$ صور على الأقل" عند رمي $3$ قطع؟ وما هو عدد جميع النتائج الممكنة (فراغ العينة)؟ هل هذا الحدث يشمل كل فراغ العينة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: الحدث المؤكد هو الحدث الذي يضم جميع نتائج فراغ العينة، واحتماله يساوي $1$.⚙️ خطوات الحل:1. عند إلقاء $3$ قطع نقدية، فإن عدد عناصر فراغ العينة هو $2^3 = 8$ نتائج.2. حدث "الحصول على $3$ صور على الأقل" يعني الحصول على $3$ صور بالضبط (لأنه لا يمكن الحصول على أكثر من $3$ صور من $3$ قطع).3. هذا الحدث يحتوي على نتيجة واحدة فقط وهي $(H, H, H)$.4. بما أن الحدث لا يضم كل نتائج فراغ العينة ($1 \neq 8$)، فهو ليس حدثاً مؤكداً، بل حدث بسيط احتماله $\frac{1}{8}$.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: أنواع الحدث، صفحة 11)
2- إذا كان لدينا حدثان معرفان على فراغ العينة $S$ وكان $P(A \cup B) = 0.9$ ، $P(B) = 0.4$ ، $P(A) = 0.5$ فإن $A$ ، $B$ حدثين غير متنافيين شرح السؤال 💡 اختبار التنافي: الحدثان المتنافيان لا يقعان معاً (تقاطعهما صفر). اجمع $P(A)$ و $P(B)$ وقارن النتيجة باحتمال الاتحاد $P(A \cup B)$. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):الأحداث المتنافية تعني استحالة وقوعها في نفس اللحظة. في الواقع الصناعي مثلاً، من المستحيل أن تُصنف وحدة إنتاجية على أنها "تالفة تماماً" و "ممتازة وخالية من العيوب" في نفس الوقت، ولذلك يكون احتمال تقاطعهما (حدوثهما معاً) هو صفر.🧠 المفهوم الإحصائي:إذا كان الحدثان $A$ و $B$ متنافيين، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتماليهما، لأن احتمال تقاطعهما يساوي صفراً. قانون الجمع هو: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$⚙️ خطوات الحل:1. نجمع $P(A)$ و $P(B)$: $$0.5 + 0.4 = 0.9$$2. نقارن الناتج مع $P(A \cup B)$ المعطى في السؤال: نجد أنهما متساويان ($0.9 = 0.9$).3. بما أن $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$، فهذا يثبت أن الحدثين متنافيان.العبارة في السؤال تدعي أنهما "غير متنافيين"، لذلك العبارة خاطئة.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 8-1: قانون جمع الاحتمالات، صفحة 35)
3- إذا ألقي حجري نرد معاً وكان $A$ حدث ظهور نتائج متشابهة والحدث $B$ هو الحدث المكمل لحدث ظهور نتائج مجموعها $9$ على الأقل فإن الحدثان $A$ ، $B$ متنافيان شرح السؤال ⚙️ فكك الأحداث: اكتب عناصر الحدث $A$. ثم فكر في $B$: مكمل "مجموع $9$ على الأقل" يعني أن المجموع أصغر من $9$. هل هناك عنصر في $A$ مجموعه أقل من $9$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ). 🧠 المفهوم الإحصائي: الحدثان المتنافيان هما الحدثان اللذان لا يتقاطعان (لا توجد عناصر مشتركة بينهما). لنتحقق من ذلك بإيجاد عناصر كل حدث. ⚙️ خطوات الحل: 1. الحدث A (نتائج متشابهة): $$A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$$ 2. الحدث B: هو مكمل حدث "المجموع $9$ على الأقل". المجموع $9$ على الأقل يعني $\{9, 10, 11, 12\}$. مكمل هذا الحدث هو الحصول على مجموع أقل من $9$. 3. التقاطع: لنبحث في عناصر $A$ ونحسب مجاميعها: $$(1,1) \Rightarrow 2$$ $$(2,2) \Rightarrow 4$$ $$(3,3) \Rightarrow 6$$ $$(4,4) \Rightarrow 8$$ جميع هذه العناصر مجاميعها أقل من $9$، لذا فهي تنتمي أيضاً للحدث $B$. 4. بما أن التقاطع ليس خالياً ($A \cap B \neq \phi$)، فإن الحدثين غير متنافيين. (الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: أنواع الحدث - الأحداث المتنافية، صفحة 14)
4- عند إلقاء مكعب نرد مرة واحدة فإن إحتمال الحصول على عدد أكبر من $4$ وأقل من $9$ هو $0.33$ شرح السؤال ⚙️ عد الأوجه: ما هي الأرقام الموجودة على النرد والتي هي أكبر من $4$؟ كم عددها؟ اقسم عددها على $6$ لتعرف الاحتمال. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: يتم حساب الاحتمال بقسمة عدد عناصر الحدث على العدد الكلي لنتائج التجربة.⚙️ خطوات الحل:1. فراغ العينة لإلقاء مكعب نرد: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$2. الحدث: الحصول على عدد أكبر من $4$ (وأقل من $9$).الأعداد التي تحقق الشرط وتوجد على النرد هي $\{5, 6\}$.3. عدد عناصر الحدث $n(A) = 2$.4. الاحتمال: $$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$$$\frac{1}{3} = 0.3333...$$بالتقريب لرقمن عشريين، الاحتمال هو $0.33$، فالعبارة صحيحة.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 6-1: طرق حساب الاحتمالات، الطريقة التقليدية، صفحة 25)
