1- إذا كان $\ar{\vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}}$، فإن $\ar{|\vec{v}| = 5}$ $\ar{\transt{}{وحدات}}$ شرح السؤال كيف يتم حساب طول (مقدار) المتجه بمعرفة مركبتيه السينية والصادية؟ فكّر في نظرية رياضية شهيرة تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)مقدار المتجه (أو معياره) هو تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس. إذا كان لدينا متجه $\ar{\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}}$، فإن مقداره $\ar{|\vec{v}|}$ يُحسب بالعلاقة: $\ar{|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$.بتطبيق هذا على المتجه المعطى:$\ar{|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2}}$$\ar{|\vec{v}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5}$النتيجة التي توصلنا إليها (5 وحدات) مطابقة تمامًا للقيمة المعطاة في السؤال، لذا فالعبارة صحيحة.(الفصل الثامن: المتجهات، 4-8: مقدار المتجه، صفحة 189)
2- إذا كان $\ar{\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$، $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} x \\ -3 \end{bmatrix}}$، وكان $\ar{\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$ فإن $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{10}}$. شرح السؤال أولاً، أوجد المتجه $\ar{\vec{b}}$ من معادلة الجمع. بعد ذلك، احسب مقدار المتجه $\ar{\vec{b}}$ باستخدام قانون المقدار وقارن الناتج بالقيمة المعطاة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لنتحقق من صحة العبارة خطوة بخطوة:إيجاد المتجه $\ar{\vec{b}}$:من معادلة الجمع المعطاة: $\ar{\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$.يمكننا ترتيبها لإيجاد $\ar{\vec{b}}$:$\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \vec{a}}$.التعويض بقيمة $\ar{\vec{a}}$:$\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ -1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}}$.حساب مقدار المتجه $\ar{\vec{b}}$:نستخدم قانون المقدار $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$.$\ar{|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2}}$$\ar{= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}}$.الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{\sqrt{10}}$) يطابق القيمة المذكورة في السؤال، إذن العبارة صحيحة.(الفصل الثامن: المتجهات، 4-8: مقدار المتجه، صفحة 188)
3- إذا كانت $\ar{a (6, 1)}$، والمتجه $\ar{\vec{ab} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$، فإن إحداثيات النقطة $\ar{b}$ هي $\ar{\dots\dots}$ شرح السؤال تذكر أن المتجه $\ar{\vec{ab}}$ يمثل الإزاحة من النقطة $\ar{a}$ إلى النقطة $\ar{b}$. كيف يمكنك استخدام متجه موضع النقطة $\ar{a}$ ومتجه الإزاحة $\ar{\vec{ab}}$ لإيجاد متجه موضع النقطة $\ar{b}$؟ $\ar{(3, -1)}$ $\ar{(-4, 2)}$ $\ar{(-2, 2)}$ $\ar{(8, 4)}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{(8, 4)}$)لإيجاد متجه موضع النقطة $\ar{b}$ ($\ar{\vec{ob}}$)، نستخدم قاعدة جمع المتجهات:$\ar{\vec{ob} = \vec{oa} + \vec{ab}}$متجه موضع النقطة $\ar{a}$: بما أن إحداثيات $\ar{a}$ هي $\ar{(6, 1)}$، فإن متجه موضعها هو $\ar{\begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix}}$.جمع المتجهات:$\ar{\vec{ob} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 2 \\ 1 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix}}$.بما أن متجه موضع النقطة $\ar{b}$ هو $\ar{\begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix}}$، فإن إحداثياتها هي $\ar{(8, 4)}$.(الفصل الثامن: المتجهات، 5-8: متجه الموضع، صفحة 194)
4- إذا كان $\ar{\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$، $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}}$، $\ar{\vec{c} = \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \end{bmatrix}}$ فإن قيمة $\ar{3\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} =}$ شرح السؤال قم بحساب كل جزء من المقدار على حدة ($\ar{3\vec{a}}$، $\ar{-2\vec{b}}$)، ثم قم بجمع المتجهات الناتجة مع المتجه $\ar{\vec{c}}$. $\ar{3 \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}}$ $\ar{4 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$ $\ar{\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}}$ $\ar{\begin{bmatrix} 1 \\ 6 \end{bmatrix}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{3 \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}}$)حساب $\ar{3\vec{a}}$: $\ar{3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}}$.حساب $\ar{-2\vec{b}}$: $\ar{-2 \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix}}$.جمع المتجهات: $\ar{3\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \end{bmatrix}}$$\ar{= \begin{bmatrix} 3+4+5 \\ 6-6+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 9 \end{bmatrix}}$.الناتج هو $\ar{\begin{bmatrix} 12 \\ 9 \end{bmatrix}}$، والذي يمكن كتابته كـ $\ar{3 \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}}$، وهو ما يتطابق مع الخيار (أ).(الفصل الثامن: المتجهات، 2-8: جمع وطرح المتجهات، صفحة 179)
