الإجابة الصحيحة (صح)

لنتحقق من صحة العبارة خطوة بخطوة:

1. إيجاد المتجه $\ar{\vec{b}}$:
   من معادلة الجمع المعطاة: $\ar{\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$.
   يمكننا ترتيبها لإيجاد $\ar{\vec{b}}$:
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \vec{a}}$.
2. التعويض بقيمة $\ar{\vec{a}}$:
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$
   $\ar{\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ -1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}}$.
3. حساب مقدار المتجه $\ar{\vec{b}}$:
   نستخدم قانون المقدار $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$.
   $\ar{|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2}}$
   $\ar{= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}}$.

الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{\sqrt{10}}$) يطابق القيمة المذكورة في السؤال، إذن العبارة صحيحة.

(الفصل الثامن: المتجهات، 4-8: مقدار المتجه، صفحة 188)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}}$)

نقوم بعملية الطرح للمركبات المتناظرة بالترتيب:

$\ar{\vec{a} - \vec{c} - \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}}$

نحسب المركبة السينية:

$\ar{1 - 3 - 2 = -4}$

نحسب المركبة الصادية:

$\ar{2 - 0 - (-3) = 2 + 3 = 5}$

إذن، المتجه الناتج هو $\ar{\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}}$.

(الفصل الثامن: المتجهات، 2-8: جمع وطرح المتجهات، صفحة 179)

الإجابة الصحيحة ($\ar{-9}$)

بما أن المتجهين متوازيان، فإن النسبة بين مركباتهما المتناظرة تكون متساوية.

$\ar{\frac{\transt{}{المركبة السينية للمتجه الأول}}{\transt{}{المركبة السينية للمتجه الثاني}} = \frac{\transt{}{المركبة الصادية للمتجه الأول}}{\transt{}{المركبة الصادية للمتجه الثاني}}}$

$\ar{\frac{a}{-3} = \frac{12}{4}}$

$\ar{\frac{a}{-3} = 3}$

بضرب الطرفين في -3، نجد أن $\ar{a = -9}$.

(الفصل الثامن: المتجهات، 3-8: المضاعف العددي للمتجه، صفحة 185)