1- إذا كانت $\ar{f(x) = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}$ فإن $\ar{f''(x) = -\frac{2}{x^3}}$ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: فك القوس المربع أولاً وحول الجذور إلى أسس كسرية سالبة وموجبة لتسهيل عملية الاشتقاق المزدوج. صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ📌 التوضيح: الاشتقاق المتتالي للدوال الكسرية والجذرية يصبح مباشراً وسلساً بمجرد رفع المتغيرات لأسس وفك الأقواس المربعة باستخدام المطابقة $\ar{(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2}$.خطوات الحل:نفك القوس المربع للدالة: $\ar{f(x) = (\sqrt{x})^2 - 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}$.تتبسط الدالة لتصبح: $\ar{f(x) = x - 2 + x^{-1}}$.نشتق الدالة للمرة الأولى: $\ar{f'(x) = 1 - x^{-2}}$.نشتق الدالة للمرة الثانية: $\ar{f''(x) = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3}}$.نكتب الناتج بالصيغة الكسرية: $\ar{f''(x) = \frac{2}{x^3}}$.العبارة تدعي أن الناتج يحتوي على إشارة سالبة $\ar{-\frac{2}{x^3}}$، إذن هي خاطئة.⚠️ خطأ شائع: يقع الطالب في خطأ نسيان ضرب إشارة الأس السالب بالإشارة السالبة الموجودة أصلاً في المعامل أثناء الاشتقاق الثاني، فيختار الإجابة الخاطئة.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-3: المشتقات العليا، ص 62)
2- إذا كانت $\ar{\cos(2y) - \sin(x) = 0}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}}$ شرح السؤال 🧠 فكر معي: هذه دالة ضمنية؛ بعد إيجاد المشتقة وعزل $\ar{y'}$، استخدم خواص الزوايا المتتامة للربط بين $\ar{\sin(x)}$ و $\ar{\cos(2y)}$ لاختصار الناتج! صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح✨ التوضيح: في بعض الدوال الضمنية المثلثية، يمكن الوصول إلى ناتج ثابت ومبسط جداً باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة $\ar{\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}$ للربط بين المتغيرين قبل أو بعد التفاضل.خطوات الحل:الطريقة الأولى (التبسيط قبل التفاضل):المعادلة هي $\ar{\cos(2y) = \sin(x)}$.باستخدام الزوايا المتتامة، نعلم أن $\ar{\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$.إذن: $\ar{\cos(2y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$. وبمساواة الزوايا (للقيم الأساسية) نجد: $\ar{2y = \frac{\pi}{2} - x}$.نشتق الطرفين مباشرة بالنسبة لـ $\ar{x}$، فنحصل على: $\ar{2y' = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{2}}$.الطريقة الثانية (التفاضل الضمني):نشتق المعادلة الأصلية: $\ar{-2\sin(2y) y' - \cos(x) = 0 \Rightarrow y' = \frac{-\cos(x)}{2\sin(2y)}}$.من الخطوة السابقة $\ar{2y = \frac{\pi}{2} - x}$، إذن $\ar{\sin(2y) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$.نعلم أن $\ar{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)}$.بالتعويض في المشتقة نجد: $\ar{y' = \frac{-\cos(x)}{2\cos(x)} = -\frac{1}{2}}$.إذن العبارة صحيحة تماماً في كلتا الحالتين.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-2: تفاضل الدوال الضمنية، ص 61)
3- إذا كانت $\ar{y = \left(4x^3 - \frac{8}{3}x\right) \left(\frac{4}{3}x\right)^{-1}}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} =}$ ........ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: تخلص من الأس السالب بإنزاله للمقام كعملية قسمة جبرية، ثم بسط الدالة بتوزيع القوس على الحدود قبل التورط في أي اشتقاق! $\ar{6x}$ $\ar{6}$ صفراً $\ar{3x^2 - 2}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{6}$📐 التوضيح: التبسيط الجبري المسبق للدوال الكسرية (بقسمة الحدود على المعامل المشترك) يغنينا عن استخدام قاعدة قسمة دالتين المعقدة ويسهل استخراج المشتقات العليا المتتالية.خطوات الحل:الدالة المرفوعة لأس سالب تعادل القسمة عليها: $\ar{y = \left(4x^3 - \frac{8}{3}x\right) \times \frac{3}{4x}}$.نوزع الضرب لتبسيط الدالة: الحد الأول $\ar{4x^3 \times \frac{3}{4x} = 3x^2}$.الحد الثاني $\ar{-\frac{8}{3}x \times \frac{3}{4x} = -2}$.إذن الدالة المبسطة هي كثيرة حدود عادية: $\ar{y = 3x^2 - 2}$.نشتق للمرة الأولى: $\ar{y' = 6x}$.نشتق للمرة الثانية والأخيرة: $\ar{y'' = 6}$.🕵️♂️ الحل بالاستبعاد: بمجرد التبسيط الذهني وضرب $\ar{x^3}$ في $\ar{x^{-1}}$ نعلم أن الدالة ستصبح من الدرجة الثانية (تربيعية). المشتقة الثانية لأي دالة تربيعية هي حتماً مقدار ثابت خالي من المتغيرات. هذا الاستنتاج القوي يسقط الخيارات المتضمنة لـ $\ar{x}$ ويقودنا للخيار 6 فوراً.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-3: المشتقات العليا، ص 62)
4- معادلة العمودي على المنحنى $\ar{(x + y)^2 + xy = 5}$ عند النقطة $\ar{(1, 1)}$ الواقعة عليه هي ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: الدالة ضمنية؛ اشتق الطرفين بالنسبة لـ $\ar{x}$ لإيجاد ميل المماس أولاً، ثم اقلب الميل مع عكس الإشارة لتجد ميل العمودي وتشكل معادلته. $\ar{x + y = 0}$ $\ar{x + y = 2}$ $\ar{y = x}$ $\ar{2x - y = 1}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{y = x}$✨ التوضيح: ميل العمودي هو السالب للمعكوس الضربي لميل المماس. نوجد ميل المماس (المشتقة $\ar{y'}$) بالتفاضل الضمني، ثم نُكون معادلة الخط العمودي ونفحص شكلها الهندسي.خطوات الحل:نفاضل المعادلة ضمنياً: $\ar{2(x+y)(1+y') + 1\cdot y + x y' = 0}$.نعوض بالنقطة المحددة $\ar{(1, 1)}$ لتبسيط إيجاد المجهول $\ar{y'}$: $\ar{2(2)(1+y') + 1 + y' = 0}$.بفك الأقواس نصل لـ: $\ar{4 + 4y' + 1 + y' = 0 \Rightarrow 5y' = -5 \Rightarrow y' = -1}$.إذن ميل المماس $\ar{m = -1}$. وهذا يجعل ميل العمودي هو المقلوب المعكوس $1$.نُكون معادلة العمودي بالصيغة القياسية: $\ar{y - 1 = 1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = x - 1 \Rightarrow y = x}$.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-5: ميل المنحنى، ص 66)
