الإجابة الصحيحة: مستقيم يمر بنقطة الأصل​

المفهوم: ميل العمودي هو السالب للمعكوس الضربي لميل المماس. نوجد ميل المماس (المشتقة $\ar{y'}$) بالتفاضل الضمني، ثم نُكون معادلة الخط العمودي ونفحص شكلها الهندسي ومسارها.​

خطوات الحل:

• نفاضل المعادلة ضمنياً: $\ar{2\left(x+y\right)\left(1+y'\right) + \left(1\cdot y + xy'\right) = 0}$.
• نعوض بالنقطة المحددة $\ar{(1, 1)}$ لتبسيط إيجاد المجهول $\ar{y'}$: $\ar{2(2)\left(1+y'\right) + 1 + y' = 0}$.
• بفك الأقواس نصل لـ: $\ar{4 + 4y' + 1 + y' = 0 \Rightarrow 5y' = -5 \Rightarrow y' = -1}$.
• إذن ميل المماس $\ar{m = -1}$. وهذا يجعل ميل العمودي هو $\ar{m_\perp = 1}$.
• نُكون معادلة العمودي بالصيغة القياسية: $\ar{y - 1 = 1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = x - 1 \Rightarrow y = x}$.
• المعادلة $\ar{y = x}$ هي معادلة شهيرة تمثل (مستقيماً يمر بنقطة الأصل).​

🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد حساب ميل المماس $\ar{y' = -1}$، نعلم يقيناً أن ميل العمودي سيقلب الإشارة ويصبح $\ar{1}$. المستقيم ذو الميل $1$ مستحيل أن يكون موازياً لمحور السينات (مائل صفر) أو الصادات (مائل غير معرف). هذا الفحص العقلي السريع يلغي الخيارين الأول والثاني، ليترك الخيار الثالث كفرضية قوية ومرجحة قبل إنهاء تفاصيل الحل.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): المستقيم $\ar{y = x}$ هو المنصف الرئيسي الأول الذي يمر بنقطة الأصل ويقسم الربعين الأول والثالث بدقة بزاوية مقدارها 45 درجة، ويُستخدم كخط تماثل للدوال العكسية.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-5: ميل المنحنى، ص 66)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{-52}$​

المفهوم: للاشتقاق الضمني لحاصل ضرب دالتين، نطبق القاعدة: الأولى $\times$ مشتقة الثانية $+$ الثانية $\times$ مشتقة الأولى. مع الحرص على إدراج المعامل التفاضلي $\ar{y'}$ مع مشتقات الصاد.​

خطوات الحل:

• الدالة الأولى هي $\ar{x^3}$، والدالة الثانية هي $\ar{y^2}$.
• نطبق قاعدة الضرب الضمنية: المشتقة = $\ar{3x^2 \cdot y^2 + x^3 \cdot \left(2yy'\right)}$.
• نعوض تعويضاً مباشراً بالقيم المتاحة من المعطيات: $\ar{x=2}$ ، $\ar{y=-1}$ ، $\ar{y'=4}$.
• بالتعويض في الحد الأول: $\ar{3(2)^2 \cdot (-1)^2 = 3(4)(1) = 12}$.
• بالتعويض في الحد الثاني: $\ar{ (2)^3 \cdot \left(2(-1)(4)\right) = 8 \cdot (-8) = -64}$.
• نجمع الحدين للمحصلة: $\ar{12 + (-64) = -52}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد تعويض الحد الثاني المشتمل على $\ar{y'}$ وملاحظة تواجد رقم سالب $\ar{-1}$ ورقم كبير $\ar{8 \times 8 = 64}$ مع إشارة سالبة، نعلم حتماً أن المحصلة الإجمالية للمعادلة ستسقط وتغوص في الإشارات السالبة، وهذا الإدراك يسمح لنا فوراً برفض جميع الخيارات الموجبة.​

💡 إضاءة (وسع إدراكك): هذا النوع من التفاضل المباشر للكميات المركبة يُعد الحجر الأساس لدراسة علم ميكانيكا الموائع ومسار القطرات حيث تتشابك المتغيرات السينية والصادية بقوة في آن واحد.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-2: التفاضل الضمني، ص 61)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{1 - 2y^{2}}}$​

المفهوم: عندما تكون $\ar{x}$ معطاة صراحة بدلالة $\ar{y}$، فمن الأسهل جداً إيجاد المعامل التفاضلي $\ar{\frac{dx}{dy}}$ أولاً بقواعد الاشتقاق العادية، ثم نقلبه جبرياً للحصول على $\ar{\frac{dy}{dx}}$.​

خطوات الحل:

• نشتق $\ar{x}$ بالنسبة لـ $\ar{y}$ باستخدام قاعدة حاصل الضرب: $\ar{\frac{dx}{dy} = 1 \cdot \sqrt{1 - y^2} + y \cdot \frac{-2y}{2\sqrt{1 - y^2}}}$.
• نختصر الرقم 2 ونبسط: $\ar{\frac{dx}{dy} = \sqrt{1 - y^2} - \frac{y^2}{\sqrt{1 - y^2}}}$.
• نوحد المقامات بضرب الحد الأول في الجذر: $\ar{\frac{\left(1 - y^2\right) - y^2}{\sqrt{1 - y^2}} = \frac{1 - 2y^2}{\sqrt{1 - y^2}}}$.
• هذا هو $\ar{\frac{dx}{dy}}$. لكي نصل للمطلوب $\ar{\frac{dy}{dx}}$، نقوم بقلب الكسر رأساً على عقب.
• الناتج النهائي: $\ar{\frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{1 - 2y^{2}}}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لقلب الكسر النهائي، نعلم أن الجذر الذي كان في البسط الأصلي سينزل حتماً ليتصدر بسط الكسر المقلوب. الخيار الوحيد الذي يحتوي على الجذر التربيعي $\ar{\sqrt{1-y^2}}$ متربعاً في البسط هو الخيار الثاني، مما يفضح بقية الخيارات المعكوسة.​

💡 إضاءة (تطبيق عملي): هذه التقنية الرياضية لقلب المشتقات تسمى (التفاضل البارامتري أو العكسي)، وتُستخدم بكثافة لتبسيط معادلات مسار الرصاصات وقذائف المدفعية.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-2: التفاضل الضمني، ص 61)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{2, 4}$​

المفهوم: لفك طلاسم هذه المسألة، يجب إيجاد المشتقة الثانية للدالة، ثم تطبيق الشروط الحدية (الابتدائية) المعطاة عند الزمن $\ar{t=0}$ لتكوين معادلة جبرية تُحل مع المعادلة المساعدة $\ar{k+p=6}$.​

خطوات الحل:

• نشتق الدالة مرة أولى: $\ar{y' = -p \sin(pt) + k \cos(kt)}$.
• نشتق الدالة مرة ثانية: $\ar{y'' = -p^2 \cos(pt) - k^2 \sin(kt)}$.
• نُشكل المعادلة المطلوبة: $\ar{y'' + k^2 y = \left(-p^2 \cos(pt) - k^2 \sin(kt)\right) + k^2\left(\cos(pt) + \sin(kt)\right)}$.
• بفك الأقواس وحذف المتشابهات نصل لـ: $\ar{y'' + k^2 y = \left(-p^2 + k^2\right) \cos(pt)}$.
• نعوض بقيمة الزمن $\ar{t=0}$ (مما يجعل $\ar{\cos 0 = 1}$) ونساويها بـ 12: $\ar{-p^2 + k^2 = 12}$.
• لدينا كفرق بين مربعين: $\ar{(k - p)(k + p) = 12}$. وبما أن $\ar{k+p = 6}$ معطاة، إذن $\ar{6(k - p) = 12 \Rightarrow k - p = 2}$.
• بحل النظام الخطي: $\ar{k+p=6}$ و $\ar{k-p=2}$ نجمع المعادلتين $\ar{2k = 8 \Rightarrow k=4}$ و $\ar{p=2}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لشرط الجمع البسيط $\ar{k+p = 6}$، نرى أن الخيارات التي تحمل أرقاماً سالبة كـ $(-4, 4)$ و $(-4, -2)$ لا تحقق هذا الشرط الأولي بتاتاً، فتسقط في الحال. يتبقى فقط الخياران التبادليان $(2, 4)$ و $(4, 2)$. وبحسب ترتيب المطلوب $(p, k)$، وبما أن $k$ يجب أن تكون الأكبر لتحقيق فرق المربعات الموجب $\ar{12}$، فإن الخيار الصحيح هو الثاني.​

💡 إضاءة (تطبيق عملي): هذه التركيبة التفاضلية المدهشة تمثل نموذج الحركة التوافقية البسيطة (SHM)، وتُستخدم هندسياً لضبط تذبذب نوابض ومساعدات امتصاص الصدمات في السيارات الفارهة.​

(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-3: المشتقات العليا، ص 62)​