1- ميل المماس للمنحنى $\ar{y = x^2 + x}$ عند $\ar{x = 1}$ يساوي $\ar{2}$. شرح السؤال 🔍 تذكر: العلاقة الجبرية بين ميل المماس والمشتقة الأولى! صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأالمفهوم: ميل المماس لأي منحنى عند نقطة معينة يمثل هندسياً قيمة المشتقة الأولى $\ar{\frac{dy}{dx}}$ للدالة عند الإحداثي السيني لتلك النقطة.خطوات الحل:نشتق الدالة المعطاة بالنسبة لـ $\ar{x}$: $\ar{\frac{dy}{dx} = 2x + 1}$.لحساب الميل عند $\ar{x = 1}$، نعوض في دالة المشتقة.الميل $\ar{= 2(1) + 1 = 3}$.العبارة المعطاة تزعم أن الميل هو $\ar{2}$، وهذا غير صحيح.⚠️ خطأ شائع: نسيان اشتقاق الحد الثاني $\ar{x}$ (الذي مشتقته $\ar{1}$) والاكتفاء باشتقاق الحد الأول فقط لتسهيله، مما ينتج عنه الميل الخاطئ $\ar{2}$.💡 إضاءة (تطبيق عملي): في الفيزياء الكلاسيكية، يمثل ميل مماس منحنى (المسافة - الزمن) مقدار السرعة اللحظية للجسم المتحرك في تلك الثانية بالتحديد.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-5: ميل المنحنى، ص 66)
2- إذا كانت $\ar{d(x) = x^3(x + 2)^2}$ ، فإن $\ar{d'(x) = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: بنية الدالة المعطاة؛ هل تلاحظ أنها تتكون من حاصل ضرب دالتين منفصلتين؟ تذكر تطبيق قاعدة السلسلة عند اشتقاق القوس ذي الأس المربع. $\ar{6x^2(x + 2)}$ $\ar{x^3(x + 2)(2x + 3)}$ $\ar{x^2(x + 2)(5x + 6)}$ $\ar{3x^2(x + 2)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{x^2(x + 2)(5x + 6)}$ المفهوم: لاشتقاق حاصل ضرب دالتين نستخدم القاعدة: المشتقة = (الأولى $\times$ مشتقة الثانية) $+$ (الثانية $\times$ مشتقة الأولى). ثم نستخرج العوامل المشتركة الجبرية لتبسيط النتيجة. خطوات الحل: نحدد الدالة الأولى $\ar{u = x^3}$ ومشتقتها $\ar{u' = 3x^2}$. نحدد الدالة الثانية $\ar{v = (x+2)^2}$ ومشتقتها بالقاعدة السلسلة $\ar{v' = 2(x+2)}$. بتطبيق قاعدة حاصل الضرب: $\ar{d'(x) = x^3[2(x+2)] + (x+2)^2[3x^2]}$. نأخذ العامل المشترك الأكبر من كلا الحدين وهو $\ar{x^2(x+2)}$. يتبقى داخل القوس الكبير: $\ar{[2x + 3(x+2)]}$. نبسط ما بداخل القوس الداخلي لتصبح: $\ar{2x + 3x + 6 = 5x + 6}$. إذن الناتج النهائي المبسط: $\ar{x^2(x+2)(5x+6)}$. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): تبسيط المشتقات الجبرية باستخراج العوامل المشتركة ليس مجرد خطوة تجميلية للحل، بل هو إجراء جوهري لتسهيل إيجاد النقاط الحرجة للأنظمة عند مساواة المشتقة بالصفر. (الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-2: تفاضل حاصل ضرب دالتين، ص 55)
3- إذا كان ميل المنحنى $\ar{y = x^2 - 3x + 3}$ يساوي $\ar{-1}$ عند نقطة معينة عليه، فإن إحداثيات هذه النقطة هي $\dots\dots\dots\dots$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: المفهوم الهندسي للميل؛ أليس هو التعبير الرياضي المباشر عن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة التماس؟ $\ar{(1, 1)}$ $\ar{(3, 3)}$ $\ar{(-3, 21)}$ $\ar{(-1, 7)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{(1, 1)}$المفهوم: هندسياً، ميل مماس المنحنى عند أي نقطة يمثل قيمة المشتقة الأولى $\ar{y'}$ عند تلك النقطة. لإيجاد النقطة، نساوي المشتقة بقيمة الميل لحساب الإحداثي $\ar{x}$، ثم نعوض في الدالة الأصلية لحساب الإحداثي $\ar{y}$.خطوات الحل:نشتق الدالة التربيعية المعطاة: $\ar{y' = 2x - 3}$.نضع مقدار المشتقة مساوياً لقيمة الميل المعطى $\ar{-1}$: $\ar{2x - 3 = -1}$.نحل المعادلة الخطية: $\ar{2x = 2 \Leftarrow x = 1}$.الآن نوجد الإحداثي الصادي بتعويض $\ar{x=1}$ في معادلة المنحنى الأصلية لنجد موضع النقطة: $\ar{y = (1)^2 - 3(1) + 3}$.نحسب الناتج: $\ar{y = 1 - 3 + 3 = 1}$.إذن النقطة هي الزوج المرتب $\ar{(1, 1)}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد كتابة معادلة الاشتقاق البسيطة جداً في الهامش أو ذهنياً $\ar{2x - 3 = -1}$، نعلم فوراً أن $\ar{x = 1}$. بإلقاء نظرة فاحصة سريعة على الخيارات المتاحة، نكتشف أن الخيار الأول هو اليتيم الذي يبدأ بالإحداثي السيني $\ar{1}$، مما يسمح لنا باختياره فوراً وتجاوز حساب الـ $\ar{y}$ كلياً لتوفير الثواني.💡 إضاءة (وسع إدراكك): هذا المبدأ يُستخدم برمجياً في خوارزميات التتبع الجغرافي والتوجيه لتحديد الإحداثيات الدقيقة لمسار جسم متعرج بناءً على زاوية انحرافه (ميله) اللحظية.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-5: ميل المنحنى، ص 66)
4- إذا كانت $\ar{y^2 - x^2 - 2xy = 0}$ ، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: تداخل المتغيرات؛ هذه دالة ضمنية نموذجية، اشتق الطرفين بالنسبة لـ $\ar{x}$ مع الانتباه الشديد والحذر لتطبيق قاعدة حاصل ضرب دالتين في الحد الأخير الممتد ($\ar{2xy}$). $\ar{\frac{2x + y^2}{2y}}$ $\ar{\frac{x + y}{y - x}}$ $\ar{\frac{2y - x^2}{2x}}$ $\ar{\frac{x - 2y}{y + 2x}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{x + y}{y - x}}$المفهوم: يُستخدم الاشتقاق الضمني للدوال المغلقة التي يتعذر فيها فصل المتغير $\ar{y}$ عن $\ar{x}$ بسهولة، حيث نشتق متغيرات $\ar{y}$ بشكل عادي بقواعد الأسس لكننا نلحقها دائماً بالمشتقة التابعة $\ar{y'}$.خطوات الحل:نشتق الحدود تباعاً: مشتقة الحد $\ar{y^2}$ هي $\ar{2y y'}$.مشتقة الحد $\ar{-x^2}$ هي $\ar{-2x}$.مشتقة الحد المختلط $\ar{-2xy}$ بقاعدة حاصل الضرب هي $\ar{-2(1 \cdot y + x y') = -2y - 2xy'}$.نجمعهم في سطر واحد: $\ar{2yy' - 2x - 2y - 2xy' = 0}$.نسحب عوامل الـ $\ar{y'}$ في جهة وننقل الثوابت لجهة أخرى: $\ar{y'(2y - 2x) = 2x + 2y}$.نقسم لاستخراج المتغير: $\ar{y' = \frac{2x + 2y}{2y - 2x}}$.باختصار المعامل $2$ المكرر من كل حدود البسط والمقام ينتج المقدار المبسط: $\ar{\frac{x + y}{y - x}}$.🧠 الحل بالاستبعاد: استخراج المشتقات الأولية ينتج حدوداً زوجية كلها تتزين بالمعامل $2$. باختصار الـ $2$ الحتمي من جميع الأطراف، نعلم ببديهة أن الإجابة النهائية المصفاة لن تحوي أرقاماً ظاهرة. مما يستبعد الخيارات الخادعة الأخرى التي احتفظت بالرقم $2$ بشكل خاطئ أو لم تختصره بشكل كامل كـ الخيار الأول والثالث والرابع.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 3-4: تفاضل الدوال الضمنية، ص 62)
