1- إذا كان ميل العمودي على المماس هو $\ar{\frac{6}{7}}$ فإن ميل المماس $\ar{= -\frac{14}{12}}$. شرح السؤال تذكر العلاقة بين ميل المماس وميل العمودي عليه (حاصل ضربهما يساوي $\ar{-1}$)، وقم بتبسيط الكسر المعطى. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: المماس والعمودي عليه هما مستقيمان متعامدان، وبالتالي حاصل ضرب ميليهما يساوي $\ar{-1}$ (أي أن أحدهما هو المعكوس الجمعي والضربي للآخر).خطوات الحل:ميل المماس = $\ar{-\frac{1}{\transt{}{ميل العمودي}}}$.إذن ميل المماس = $\ar{-\frac{7}{6}}$.بتبسيط الكسر المعطى في السؤال $\ar{-\frac{14}{12}}$ بالقسمة على $\ar{2}$ بسطاً ومقاماً نجد أنه يساوي $\ar{-\frac{7}{6}}$.وهو متطابق مع الحل الصحيح.أخطاء شائعة: إيجاد المعكوس الضربي فقط دون تغيير الإشارة، أو عدم تبسيط الكسر $\ar{-\frac{14}{12}}$ للحكم على صحة العبارة.💡 إضاءة (اعرف أكثر): هذه العلاقة التبادلية تُستخدم دائماً للربط بين أي مستقيمين متعامدين في الهندسة التحليلية وتطبيقات التفاضل.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 5-3: ميل المنحنى، ص 66)
2- قياس زاوية المماس للمنحنى $\ar{xy - y^2 + 12x = 0}$ مع محور السينات عند النقطة $\ar{f(2, 6)}$ هي ---------- شرح السؤال ظل الزاوية التي يصنعها المماس هو ميل المماس. أوجد المشتقة الأولى بالتفاضل الضمني، وعوّض بإحداثيات النقطة، ثم أوجد الزاوية من دالة الظل. $\ar{90.9^\circ}$ $\ar{60.9^\circ}$ $\ar{45.9^\circ}$ $\ar{62.9^\circ}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{60.9^\circ}$المفهوم: الميل $\ar{m = \frac{dy}{dx} = \tan \theta}$. لإيجاده من معادلة ضمنية، نفاضل طرفي المعادلة مع احترام قاعدة حاصل الضرب للدالة.خطوات الحل:نفاضل ضمنياً: مشتقة $\ar{xy}$ هي $\ar{x y' + y(1)}$. مشتقة $\ar{-y^2}$ هي $\ar{-2y y'}$.إذن $\ar{y + xy' - 2yy' + 12 = 0}$.نعزل $\ar{y'}$: $\ar{y'(x - 2y) = -y - 12 \leftarrow y' = \frac{-y - 12}{x - 2y}}$.نعوض بالنقطة $\ar{(2, 6)}$: $\ar{y' = \frac{-6 - 12}{2 - 12} = \frac{-18}{-10} = 1.8}$.إذن $\ar{\tan \theta = 1.8}$ وبأخذ الدالة العكسية للظل نجد $\ar{\theta = \tan^{-1}(1.8) \approx 60.9^\circ}$.الحل بالاستبعاد: نعلم أن $\ar{\tan 45^\circ = 1}$ وأن $\ar{\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732}$. بما أن الميل $\ar{1.8}$ وهو أكبر قليلاً من $\ar{1.732}$، فالزاوية يجب أن تكون أكبر بقليل من $\ar{60^\circ}$. الخيار الوحيد المنطقي هو $\ar{60.9^\circ}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): التفاضل الضمني هو الطريقة الأمثل للتعامل مع العلاقات التي تتداخل فيها $\ar{x}$ و $\ar{y}$ ويصعب فصلهما، مثل معادلات الدوائر والقطوع.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، ص 62)
3- معادلة العمودي للمنحنى $\ar{y = \frac{\sqrt{x}}{x - 2}}$ عند نقطة على المنحنى حيث $\ar{x = 4}$ هي ---------- شرح السؤال أوجد الإحداثي الصادي للنقطة بالتعويض، ثم أوجد ميل المماس بالمشتقة الأولى، واقلبه مع تغيير الإشارة لتحصل على ميل العمودي لتكوين معادلته. $\ar{3y - 8x - 20 = 0}$ $\ar{3y - 28 - 8x = 0}$ $\ar{8x - 3y - 29 = 0}$ $\ar{8x + 29 = 0}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{8x - 3y - 29 = 0}$المفهوم: معادلة الخط المستقيم (المماس أو العمودي) تتطلب إيجاد نقطة التماس والميل. ميل العمودي هو $\ar{-\frac{1}{m}}$ حيث $\ar{m}$ هو ميل المماس.خطوات الحل:عند $\ar{x = 4}$ فإن $\ar{y = \frac{\sqrt{4}}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1}$ فالنقطة $\ar{(4, 1)}$.المشتقة (بقسمة دالتين): $\ar{y' = \frac{(x-2)(\frac{1}{2\sqrt{x}}) - \sqrt{x}(1)}{(x-2)^2}}$.عند $\ar{x=4}$: $\ar{y' = \frac{(2)(\frac{1}{4}) - 2}{4} = \frac{-1.5}{4} = -\frac{3}{8}}$. هذا ميل المماس.ميل العمودي = $\ar{\frac{8}{3}}$.معادلة العمودي: $\ar{y - 1 = \frac{8}{3}(x - 4) \leftarrow 3y - 3 = 8x - 32 \leftarrow 8x - 3y - 29 = 0}$.الحل بالاستبعاد: نعلم أن النقطة $\ar{(4, 1)}$ تقع على العمودي، فبتعويض $\ar{x=4}$ و $\ar{y=1}$ في الخيارات: الخيار (ج) $\ar{8(4) - 3(1) - 29 = 32 - 3 - 29 = 0}$ يحقق المعادلة، بينما البقية لا تحققها، فيتم استبعادهم فوراً.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تعويض نقطة التماس في الخيارات المتاحة يوفر وقت الاشتقاق المعقد في الامتحانات ، فهو أداة تأكد قوية وسريعة.(الفصل 3: المزيد من التفاضل، الدرس 5-3: ميل المنحنى، ص 66)
4- إذا كانت $\ar{y^2 \cos x = 1}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = \dots\dots}$ بدلالة $\ar{x, y}$. شرح السؤال اجعل $\ar{y}$ في طرف وحدها كدالة أسية للمتغير $\ar{x}$ قبل البدء في الاشتقاق لتجنب التفاضل الضمني المعقد. $\ar{\frac{1}{2} (y + \frac{2}{3} y \tan^2 x)}$ $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ $\ar{y (\sin^2 x + \tan^2 x)}$ $\ar{\frac{1}{4} y (2 - 3 \tan^2 x)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{4} y (2 + 3 \tan^2 x)}$ (مطابق للصياغة $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ بفك متطابقة القاطع)المفهوم: إيجاد المشتقة الثانية لدالة مثلثية مع استخدام متطابقات فيثاغورس للتبسيط النهائي.2. خطوات الحل التفصيلية:نعيد صياغة الدالة بفصل المتغير $\ar{y}$ في طرف واحد لتسهيل الاشتقاق: $\ar{y^2 = \frac{1}{\cos x} = \sec x \leftarrow y = (\sec x)^{1/2} = (\cos x)^{-1/2}}$.نوجد المشتقة الأولى للدالة باستخدام قاعدة السلسلة للقوى: $\ar{y' = -\frac{1}{2}(\cos x)^{-3/2} \cdot (-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x (\cos x)^{-3/2}}$.نشتق الدالة مرة أخرى للحصول على المشتقة الثانية باستخدام قاعدة حاصل ضرب دالتين: $\ar{y'' = \frac{1}{2}[\cos x \cdot (\cos x)^{-3/2} + \sin x \cdot (-\frac{3}{2})(\cos x)^{-5/2} \cdot (-\sin x)]}$.نبسط المقادير داخل الأقواس بتجميع الأسس المتشابهة: $\ar{y'' = \frac{1}{2}[(\cos x)^{-1/2} + \frac{3}{2}\sin^2 x (\cos x)^{-5/2}]}$.نأخذ القيمة $\ar{y = (\cos x)^{-1/2}}$ كعامل مشترك لتسهيل التحويل: $\ar{y'' = \frac{1}{2}y [1 + \frac{3}{2}\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}] = \frac{1}{2}y [1 + \frac{3}{2}\tan^2 x]}$.نوحد المقامات ونسحب الكسر خارج الأقواس لمطابقة خيارات السؤال المعطاة: $\ar{y'' = \frac{1}{4}y [2 + 3\tan^2 x]}$ وهي تكافئ $\ar{\frac{1}{4} y (2 \sec^2 x + \tan^2 x)}$ لأن $\ar{2(1+\tan^2 x)+\tan^2 x = 2+3\tan^2 x}$.الحل بالاستبعاد: وجود المعامل الكسري $\ar{\frac{1}{2}}$ من تفاضل القوة الجذرية مرتين سيولد $\ar{\frac{1}{4}}$ في المشتقة الثانية حتماً. هذا يستبعد الخيارات التي لا تحتوي عليه. ومن القواعد المثلثية نعلم أن الإشارات ستكون موجبة لضرب السوالب، فيستبعد الخيار ذو الطرح.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تحويل الدوال المثلثية المقلوبة لأسس كسرية يسهل جداً تطبيق قاعدة سلسلة القوى في الاشتقاق بدلاً من تعقيدات قاعدة خارج القسمة.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-6: مشتقات الدوال الضمنية التي تحوي نسبا مثلثية، ص 147)
