1- إذا كانت $\ar{y^2 + 3xy = 10}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{6}}$ عند النقطة $\ar{(1, 2)}$. شرح السؤال هذه دالة ضمنية. تذكر عند اشتقاقها أن $\ar{y}$ هي دالة في $\ar{x}$. لا تنسَ استخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب للحد $\ar{3xy}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلى $\ar{x}$:$\ar{\frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3xy) = \frac{d}{dx}(10)}$اشتقاق $\ar{y^2}$ يعطي $\ar{2y \frac{dy}{dx}}$.اشتقاق $\ar{3xy}$ (باستخدام قاعدة الضرب) يعطي: $\ar{3((1)(y) + (x)(\frac{dy}{dx})) = 3y + 3x \frac{dy}{dx}}$.اشتقاق $\ar{10}$ يعطي $\ar{0}$.تصبح المعادلة: $\ar{2y \frac{dy}{dx} + 3y + 3x \frac{dy}{dx} = 0}$.نعزل الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$:$\ar{\frac{dy}{dx} (2y + 3x) = -3y}$$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3y}{2y + 3x}}$الآن نعوض بقيم النقطة $\ar{(1, 2)}$ أي $\ar{x = 1}$ و $\ar{y = 2}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3(2)}{2(2) + 3(1)} = \frac{-6}{4 + 3} = -\frac{6}{7}}$.الناتج $\ar{-\frac{6}{7}}$ لا يساوي $\ar{-\frac{7}{6}}$، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
2- إذا كان $\ar{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}$، حيث $\ar{a}$، $\ar{b}$ ثابتان، فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ عند النقطة $\ar{(a \cos e, b \sin e)}$ هي $\ar{-\frac{b}{a} \cot e}$. شرح السؤال هذه معادلة قطع ناقص. يمكنك إيجاد المشتقة باستخدام التفاضل الضمني. اشتق كل حد بالنسبة لـ $\ar{x}$، ثم أوجد $\ar{\frac{dy}{dx}}$ وعوض بإحداثيات النقطة البارامترية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نقوم باشتقاق معادلة القطع الناقص ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$:$\ar{\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0}$نعيد ترتيب المعادلة لعزل $\ar{\frac{dy}{dx}}$:$\ar{\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}}$$\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \times \frac{b^2}{2y} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}}$الآن، نعوض بقيم النقطة البارامترية $\ar{x = a \cos e}$ و $\ar{y = b \sin e}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 (a \cos e)}{a^2 (b \sin e)} = -\frac{b}{a} (\frac{\cos e}{\sin e})}$وبما أن $\ar{\cot e = \frac{\cos e}{\sin e}}$، فإن الناتج هو $\ar{-\frac{b}{a} \cot e}$.النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
3- إذا كان المماس للمنحنى $\ar{y = x(b - x^2)}$ عند نقطة الأصل يصنع زاوية قياسها $\ar{45^\circ}$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات فإن قيمة $\ar{b = -1}$. شرح السؤال ميل المماس عند نقطة هو قيمة المشتقة الأولى عند تلك النقطة. ما علاقة زاوية ميل المماس بقيمته؟ (الميل = ظا الزاوية). أوجد المشتقة، ساوِها بـ "ظل 45 درجة"، وعوض بنقطة الأصل. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)إيجاد المشتقة: أولاً، نفك المعادلة لتسهيل الاشتقاق: $\ar{y = bx - x^3}$.المشتقة الأولى (دالة الميل) هي: $\ar{\frac{dy}{dx} = b - 3x^2}$.ربط الميل بالزاوية: ميل المماس يساوي ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.الميل ($\ar{m}$) = $\ar{\tan(45^\circ) = 1}$.التعويض بالنقطة: نريد حساب الميل عند "نقطة الأصل"، أي عند $\ar{x = 0}$.نعوض بـ $\ar{x = 0}$ في معادلة الميل ونجعلها تساوي 1:$\ar{1 = b - 3(0)^2}$$\ar{1 = b - 0}$إذن، $\ar{b = 1}$.قيمة $\ar{b}$ هي $\ar{1}$ وليست $\ar{-1}$، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)
4- إذا كان $\ar{xy = 1}$ فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} \times \frac{d^2x}{dy^2} = 4}$ عندما $\ar{x \neq 1}$، بحيث $\ar{x \neq 0}$، $\ar{y \neq 0}$. شرح السؤال أوجد المشتقة الثانية لـ $\ar{y}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$. ثم أوجد المشتقة الثانية لـ $\ar{x}$ بالنسبة لـ $\ar{y}$. اضرب الناتجين وقارن بالرقم 4. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحساب طرفي المعادلة، نشتق كل متغير بالنسبة للآخر مرتين.1. حساب $\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}$:$\ar{y = \frac{1}{x} = x^{-1}}$$\ar{\frac{dy}{dx} = -x^{-2}}$$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}}$2. حساب $\ar{\frac{d^2x}{dy^2}}$:$\ar{x = \frac{1}{y} = y^{-1}}$$\ar{\frac{dx}{dy} = -y^{-2}}$$\ar{\frac{d^2x}{dy^2} = 2y^{-3} = \frac{2}{y^3}}$3. ضرب الناتجين:$\ar{\frac{d^2y}{dx^2} \times \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{2}{x^3} \times \frac{2}{y^3} = \frac{4}{(xy)^3}}$بما أن المعادلة الأصلية هي $\ar{xy = 1}$، نعوض بهذه القيمة:$\ar{\frac{4}{(1)^3} = 4}$الطرف الأيسر من المعادلة يساوي 4، وهو ما يطابق الطرف الأيمن. إذن العبارة صحيحة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
