1- إذا كان $\ar{\cos 2y - \sin x + \sin y = 3}$، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه مسألة تفاضل ضمني. ستحتاج إلى اشتقاق كل حد بالنسبة لـ '$\ar{x}$'، مع استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق الدوال التي تحتوي على '$\ar{y}$'. $\ar{\frac{\cos y}{\cos x (1 - 2 \sin y)}}$ $\ar{\frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$ $\ar{-(2 \sin 2y - \cos x + \cos y)}$ $\ar{\frac{1}{2} \sin 2y + \cos x}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$)باشتقاق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$، نحصل على:$\ar{-2 \sin(2y) (\frac{dy}{dx}) - \cos(x) + \cos(y) (\frac{dy}{dx}) = 0}$وعند محاولة عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، يكون الناتج:$\ar{(\frac{dy}{dx}) (\cos y - 2 \sin 2y) = \cos x}$باستخدام متطابقة $\ar{\sin 2y = 2 \sin y \cos y}$، يصبح المقام:$\ar{\cos y - 2(2 \sin y \cos y) = \cos y - 4 \sin y \cos y = \cos y (1 - 4 \sin y)}$إذن، $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$الناتج يتطابق مع الخيار (ب).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
2- إذا كان $\ar{2y^3 - 3x^2 + x^3 y^3 = 1}$، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} = \dots\dots}$ شرح السؤال هذه دالة ضمنية أخرى. تذكر أن تشتق كل حد بالنسبة لـ '$\ar{x}$'. عند اشتقاق حد يحتوي على '$\ar{y}$'، استخدم قاعدة السلسلة (اضرب في $\ar{\frac{dy}{dx}}$). الحد الأخير ($\ar{x^3 y^3}$) يتطلب استخدام قاعدة الضرب. $\ar{6y^2 - 6x + 9x^2 y^2}$ $\ar{\frac{6x + y^3}{6y^2 + x^3}}$ $\ar{\frac{x (2 + y^3)}{y^2 (2 + x^3)}}$ $\ar{\frac{x (2 - xy^3)}{y^2 (2 + x^3)}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{x (2 - xy^3)}{y^2 (2 + x^3)}}$)نشتق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$:$\ar{\frac{d}{dx} (2y^3) - \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (x^3 y^3) = \frac{d}{dx} (1)}$$\ar{6y^2 (\frac{dy}{dx}) - 6x + \left( (3x^2)(y^3) + (x^3)(3y^2 (\frac{dy}{dx})) \right) = 0}$الآن، نجمع الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$ في طرف واحد:$\ar{(\frac{dy}{dx}) (6y^2 + 3x^3 y^2) = 6x - 3x^2 y^3}$$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{6x - 3x^2 y^3}{6y^2 + 3x^3 y^2}}$بأخذ العامل المشترك $\ar{3x}$ من البسط و $\ar{3y^2}$ من المقام للتبسيط:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{3x (2 - xy^3)}{3y^2 (2 + x^3)} = \frac{x (2 - xy^3)}{y^2 (2 + x^3)}}$(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
3- معادلة العمودي للمنحنى $\ar{y = 2 x^3 - 7 x}$ عند النقطة التي عندها $\ar{x = 1}$ هي شرح السؤال لإيجاد معادلة العمودي، تحتاج إلى ثلاثة أشياء: نقطة التماس، ميل المماس عند تلك النقطة، ثم ميل العمودي. كيف يرتبط ميل العمودي بميل المماس؟ $\ar{2 x - y + 2 = 0}$ $\ar{x - y + 2 = 0}$ $\ar{y - x + 6 = 0}$ $\ar{y + x + 4 = 0}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{y - x + 6 = 0}$)إيجاد نقطة التماس: عند $\ar{x = 1}$، $\ar{y = 2(1)^3 - 7(1) = -5}$. إذن النقطة هي (1 ، -5).إيجاد ميل المماس: نشتق الدالة. $\ar{\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 7}$.عند $\ar{x = 1}$، ميل المماس = $\ar{6(1)^2 - 7 = -1}$.إيجاد ميل العمودي: ميل العمودي = $\ar{\frac{-1}{\transt{}{ميل المماس}} = \frac{-1}{-1} = 1}$.كتابة معادلة العمودي: باستخدام الصيغة $\ar{y - y_1 = m(x - x_1)}$.$\ar{y - (-5) = 1(x - 1)}$$\ar{y + 5 = x - 1}$بإعادة الترتيب لتطابق الخيارات: $\ar{y - x + 6 = 0}$.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)
4- إذا كان $\ar{\cos 2y - \sin x + \sin y = 3}$، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} =}$ شرح السؤال هذه مسألة تفاضل ضمني. ستحتاج إلى اشتقاق كل حد بالنسبة لـ '$\ar{x}$'، مع استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق الدوال التي تحتوي على '$\ar{y}$'. $\ar{\frac{\cos y}{\cos x (1 - 2 \sin y)}}$ $\ar{\frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$ $\ar{-(2 \sin 2y - \cos x + \cos y)}$ $\ar{\frac{1}{2} \sin 2y + \cos x}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$)باشتقاق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$، نحصل على:$\ar{-2\sin(2y) (\frac{dy}{dx}) - \cos(x) + \cos(y) (\frac{dy}{dx}) = 0}$وعند محاولة عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، يكون الناتج:$\ar{(\frac{dy}{dx}) (\cos y - 2\sin 2y) = \cos x}$باستخدام متطابقة $\ar{\sin 2y = 2 \sin y \cos y}$، يصبح المقام:$\ar{\cos y - 2(2 \sin y \cos y) = \cos y - 4 \sin y \cos y = \cos y (1 - 4 \sin y)}$إذن، $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\cos y (1 - 4 \sin y)}}$الناتج يتطابق مع الخيار (ب).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
