الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد ميل المماس، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد دالة الميل (المشتقة الأولى):
   الدالة هي $\ar{y = x^2 + x}$.
   المشتقة هي $\ar{\frac{dy}{dx} = 2x + 1}$.
2. حساب الميل عند $\ar{x = 1}$:
   نعوض بـ $\ar{x = 1}$ في دالة الميل:
   الميل = $\ar{2(1) + 1 = 3}$.

الميل الصحيح هو 3. العبارة في السؤال تدعي أن الميل يساوي 2، لذا فهي خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)

الإجابة الصحيحة ($\ar{x^2(x + 2)(5x + 6)}$)

نطبق قاعدة تفاضل حاصل الضرب $\ar{(uv)' = u'v + uv'}$ حيث:

• $\ar{u = x^3 \implies u' = 3x^2}$
• $\ar{v = (x + 2)^2 \implies v' = 2(x + 2)(1) = 2(x + 2)}$

التطبيق:
$\ar{d'(x) = (3x^2)(x + 2)^2 + (x^3)(2(x + 2))}$

التبسيط: نأخذ العامل المشترك الأكبر وهو $\ar{x^2(x + 2)}$.

$\ar{d'(x) = x^2(x + 2) [3(x + 2) + 2x]}$

نقوم بفك الأقواس الداخلية وتجميع الحدود:

$\ar{d'(x) = x^2(x + 2) [3x + 6 + 2x] = x^2(x + 2) (5x + 6)}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 2-3: تفاضل حاصل الضرب، صفحة 55)

الإجابة الصحيحة ($\ar{(1, 1)}$)

1. إيجاد دالة الميل (المشتقة الأولى):
   $\ar{\frac{dy}{dx} = 2x - 3}$
2. مساواة الميل بالقيمة المعطاة:
   $\ar{2x - 3 = -1}$
   $\ar{2x = 2}$
   $\ar{x = 1}$
3. إيجاد الإحداثي الصادي:
   نعوض بـ $\ar{x = 1}$ في معادلة المنحنى الأصلية:
   $\ar{y = (1)^2 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1}$

إذن، إحداثيات النقطة المطلوبة هي $\ar{(1, 1)}$.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{x + y}{y - x}}$)

نشتق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$:

$\ar{\frac{d}{dx} (y^2) - \frac{d}{dx} (x^2) - \frac{d}{dx} (2xy) = 0}$

$\ar{2y \frac{dy}{dx} - 2x - \left( 2y + 2x \frac{dy}{dx} \right) = 0}$

نفك الأقواس:

$\ar{2y \frac{dy}{dx} - 2x - 2y - 2x \frac{dy}{dx} = 0}$

نجمع الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$ في طرف، وننقل باقي الحدود إلى الطرف الآخر:

$\ar{\frac{dy}{dx} (2y - 2x) = 2x + 2y}$

نعزل $\ar{\frac{dy}{dx}}$ ونبسط بأخذ العامل المشترك 2 من البسط والمقام:

$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{2(x + y)}{2(y - x)} = \frac{x + y}{y - x}}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)