الإجابة الصحيحة ($\ar{\theta = 60.9^\circ}$)

1. التفاضل الضمني للمعادلة:
   $\ar{\frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(12x) = 0}$
   $\ar{(y + x\frac{dy}{dx}) - 2y\frac{dy}{dx} + 12 = 0}$
2. عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:
   $\ar{y + 12 = 2y\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx}}$
   $\ar{y + 12 = (2y - x)\frac{dy}{dx}}$
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{y + 12}{2y - x}}$
3. حساب الميل ($\ar{m}$) عند النقطة $\ar{(2, 6)}$:
   $\ar{m = \frac{6 + 12}{2(6) - 2} = \frac{18}{12 - 2} = \frac{18}{10} = 1.8}$
4. إيجاد الزاوية ($\ar{\theta}$):
   $\ar{\theta = \tan^{-1}(1.8) \approx 60.9^\circ}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 (1 + 6x)}$)

نطبق قاعدة تفاضل حاصل الضرب $\ar{(uv)' = u'v + uv'}$ حيث:

• $\ar{u = \frac{2}{x} = 2x^{-1} \implies u' = -2x^{-2} = \frac{-2}{x^2}}$
• $\ar{v = (1 - 3x)^3 \implies v' = 3(1 - 3x)^2 (-3) = -9(1 - 3x)^2}$

التطبيق:
المشتقة = $\ar{(\frac{-2}{x^2})(1 - 3x)^3 + (\frac{2}{x})(-9(1 - 3x)^2)}$

التبسيط بأخذ عامل مشترك: نأخذ $\ar{\frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2}$ كعامل مشترك.

$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 \left[ (1 - 3x) + (\frac{-9x}{-1}) \right]}$

$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 [1 - 3x + 9x]}$

الناتج النهائي:
$\ar{= \frac{-2}{x^2}(1 - 3x)^2 (1 + 6x)}$

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 2-3: تفاضل حاصل الضرب، صفحة 55)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2\cos 2x}{1 + x} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$)

نطبق قاعدة القسمة $\ar{(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}}$:

• $\ar{u = \sin 2x \implies u' = 2\cos 2x}$
• $\ar{v = 1 + x \implies v' = 1}$

التطبيق:
المشتقة = $\ar{\frac{(2\cos 2x)(1 + x) - (\sin 2x)(1)}{(1 + x)^2}}$

توزيع المقام على حدي البسط:
$\ar{= \frac{(2\cos 2x)(1 + x)}{(1 + x)^2} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$

التبسيط النهائي:
$\ar{= \frac{2\cos 2x}{1 + x} - \frac{\sin 2x}{(1 + x)^2}}$

الناتج يطابق الخيار (ج).

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2(x - 3)(1 + 3x)}{(x^2 + 1)^2}}$)

قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين هي:

$\ar{\frac{\transt{}{المقام} \times \transt{}{مشتقة البسط} - \transt{}{البسط} \times \transt{}{مشتقة المقام}}{\transt{}{مربع المقام}}}$

بالرموز، إذا كانت $\ar{y = \frac{z}{v}}$ فإن:

$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{v (\frac{dz}{dx}) - z (\frac{dv}{dx})}{v^2}}$

في هذا السؤال:

• دالة البسط: $\ar{z = (3 - x)^2 \implies \frac{dz}{dx} = 2(3 - x)(-1) = 2x - 6}$
• دالة المقام: $\ar{v = x^2 + 1 \implies \frac{dv}{dx} = 2x}$

التطبيق في القاعدة وتبسيط البسط:
$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2x - 6) - (3 - x)^2(2x)}{(x^2 + 1)^2}}$

$\ar{= \frac{(2x^3 + 2x - 6x^2 - 6) - (18x - 12x^2 + 2x^3)}{(x^2 + 1)^2}}$

$\ar{= \frac{2x^3 - 6x^2 + 2x - 6 - 18x + 12x^2 - 2x^3}{(x^2 + 1)^2}}$

$\ar{= \frac{6x^2 - 16x - 6}{(x^2 + 1)^2}}$

$\ar{= \frac{2(3x^2 - 8x - 3)}{(x^2 + 1)^2}}$

$\ar{= \frac{2(3x + 1)(x - 3)}{(x^2 + 1)^2}}$

وهذا يطابق الخيار (ب).

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)