الإجابة الصحيحة (θ = 60.9°)

1. التفاضل الضمني للمعادلة:
   makeFraction{د}{دس} (س ص) − makeFraction{د}{دس} (makePower{ص}{2}) + makeFraction{د}{دس} (12س) = 0
   makeParentheses{(1)ص + س makeFraction{دص}{دس}} − 2ص makeFraction{دص}{دس} + 12 = 0
2. عزل (دص/دس):
   ص + 12 = 2ص makeFraction{دص}{دس} − س makeFraction{دص}{دس}
   ص + 12 = (2ص − س) makeFraction{دص}{دس}
   makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{ص + 12}{2ص − س}
3. حساب الميل (م) عند النقطة (2، 6):
   م = makeFraction{6 + 12}{2(6) − 2} = makeFraction{18}{12 − 2} = makeFraction{18}{10} = 1.8
4. إيجاد الزاوية (θ):
   θ = makePower{ظا}{-1} (1.8) ≈ 60.9°

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{-2}{makePower{س}{2}} makePower{(1 - 3س)}{2} (1 + 6س))

نطبق قاعدة تفاضل حاصل الضرب(uv)' = u'v + uv'حيث:

• u = makeFraction{2}{س} = 2makePower{س}{-1}=>u' = −2makePower{س}{-2} = makeFraction{−2}{makePower{س}{2}}
• v = makePower{(1 - 3س)}{3}=>v' = 3makePower{(1 - 3س)}{2} (−3) = −9makePower{(1 - 3س)}{2}

التطبيق:
المشتقة = makeParentheses{makeFraction{−2}{makePower{س}{2}}} makePower{(1 - 3س)}{3} + makeParentheses{makeFraction{2}{س}} makeParentheses{−9makePower{(1 - 3س)}{2}}

التبسيط بأخذ عامل مشترك:نأخذmakeFraction{-2}{makePower{س}{2}} makePower{(1 - 3س)}{2}كعامل مشترك.

= makeFraction{-2}{makePower{س}{2}} makePower{(1 - 3س)}{2} makeBracket{(1 - 3س) + makeParentheses{makeFraction{−9س}{-1}}}

= makeFraction{-2}{makePower{س}{2}} makePower{(1 - 3س)}{2} [1 - 3س + 9س]

الناتج النهائي:
= makeFraction{-2}{makePower{س}{2}} makePower{(1 - 3س)}{2} (1 + 6س)

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 2-3: تفاضل حاصل الضرب، صفحة 55)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{2 جتا 2س}{1+س} - makeFraction{جا 2س}{makePower{(1+س)}{2}})

نطبق قاعدة القسمةmakeParentheses{makeFraction{u}{v}}' = makeFraction{u'v − uv'}{v²}:

• u = جا 2س=>u' = 2 جتا 2س
• v = 1 + س=>v' = 1

التطبيق:
المشتقة = makeFraction{(2 جتا 2س)(1 + س) − (جا 2س)(1)}{makePower{(1 + س)}{2}}

توزيع المقام على حدي البسط:
= makeFraction{(2 جتا 2س)(1 + س)}{makePower{(1 + س)}{2}} − makeFraction{جا 2س}{makePower{(1 + س)}{2}}

التبسيط النهائي:
= makeFraction{2 جتا 2س}{1 + س} − makeFraction{جا 2س}{makePower{(1 + س)}{2}}

الناتج يطابق الخيار (ج).

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{2(س - 3)(1 + 3س)}{makePower{(makePower{س}{2}+1)}{2}})

قاعدة تفاضل خارج قسمة دالتين هي:

makeFraction{المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام}{مربع المقام}

بالرموز، إذا كانتص = makeFraction{ز}{ف}فإن:

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{ف makeParentheses{makeFraction{دز}{دس}} - ز makeParentheses{makeFraction{دف}{دس}}}{makePower{ف}{2}}

في هذا السؤال:

• دالة البسط:ز = makePower{(3 − س)}{2}=>makeFraction{دز}{دس} = 2(3 − س)(−1) = 2س − 6
• دالة المقام:ف = makePower{س}{2} + 1=>makeFraction{دف}{دس} = 2س

التطبيق في القاعدة وتبسيط البسط:
makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{(makePower{س}{2} + 1)(2س − 6) − makePower{(3 − س)}{2}(2س)}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

= makeFraction{(2makePower{س}{3} + 2س − 6makePower{س}{2} − 6) − (18س − 12makePower{س}{2} + 2makePower{س}{3})}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

= makeFraction{2makePower{س}{3} − 6makePower{س}{2} + 2س − 6 − 18س + 12makePower{س}{2} − 2makePower{س}{3}}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

= makeFraction{6makePower{س}{2} − 16س − 6}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

= makeFraction{2(3makePower{س}{2} − 8س − 3)}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

= makeFraction{2(3س + 1)(س - 3)}{makePower{(makePower{س}{2} + 1)}{2}}

وهذا يطابق الخيار (ب).

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 3-3: تفاضل خارج القسمة، صفحة 59)