1- $\ar{\frac{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}}$ في صورة نسبة مثلثية فريدة تساوي $\ar{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}$ شرح السؤال 🔍 تلميح: قارن المقدار المعطى بقانون ظل ضعف الزاوية. هل القانون مكتمل أم ينقصه معامل عددي في البسط ليكون متطابقاً تماماً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ📌 التوضيح: متطابقة ظل ضعف الزاوية تنص على أن $\ar{\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}}$.خطوات الحل:بمقارنة المقدار المعطى بالمتطابقة القياسية، نلاحظ غياب الرقم $2$ من البسط.لذا يمكننا التلاعب به رياضياً وكتابة المقدار على الصورة: $\ar{\frac{1}{2} \left[ \frac{2\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{\pi}{6}\right)} \right]}$.نطبق المتطابقة على ما بداخل القوس المربع: $\ar{\frac{1}{2} \tan\left(2 \times \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}$.العبارة تدعي أن الناتج هو $\ar{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}$ كاملة دون معامل النصف المضروب بها، إذن هي خاطئة.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، ص 43)
2- $\ar{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \cos(60^\circ + \theta)}$ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: فك الطرف الأيسر باستخدام متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين، ثم قارنه بالطرف الأيمن لتتحقق من الإشارات والدوال. صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ🎯 التوضيح: متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين هي $\ar{\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B}$.خطوات الحل:نفك الطرف الأيسر حسب المتطابقة: $\ar{\cos(60^\circ + \theta) = \cos 60^\circ \cos \theta - \sin 60^\circ \sin \theta}$.نعوض بقيم الزوايا الخاصة المعروفة: $\ar{\cos 60^\circ = \frac{1}{2}}$ و $\ar{\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}}$.يصبح الطرف الأيسر بعد التعويض: $\ar{\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta}$.بمقارنته بالطرف الأيمن المذكور في السؤال $\ar{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta}$، نجد أن الإشارات معكوسة والدوال غير متطابقة الترتيب.🕵️♂️ الحل بالاستبعاد: قانون جيب التمام لمجموع زاويتين (الجمع) ينتج عنه إشارة طرح حتماً بين الحدين المضروبين. بمجرد رؤية إشارة الجمع ($+$) الموجبة في الطرف الأيمن، نعلم فوراً أن العبارة خاطئة دون الحاجة لفك الزوايا.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: تعريف الزوايا المركبة، ص 38)
3- إذا كانت الحدود التي تقع بينها $\ar{\theta}$ هي $\ar{45^\circ < \theta < 90^\circ}$ فإن $\ar{\sin(2\theta)}$ تكون موجبة شرح السؤال 🧠 فكر معي: اضرب المتباينة المعطاة في $2$ لتعرف النطاق الجديد للزاوية $\ar{2\theta}$، ثم حدد الربع الذي تقع فيه لتعرف إشارة الجيب. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح✨ التوضيح: لمعرفة إشارة أي دالة مثلثية، يجب تحديد الربع الديكارتي الذي تقع فيه زاويتها. دالة الجيب $\ar{\sin}$ تكون موجبة دائماً في الربعين الأول والثاني (من $0 $إلى$ 180$ درجة).خطوات الحل:لدينا المتباينة الأصلية للزاوية: $\ar{45^\circ < \theta < 90^\circ}$.نحن نبحث عن إشارة الزاوية المضاعفة $\ar{2\theta}$. نضرب جميع أطراف المتباينة في $2$.تصبح المتباينة الجديدة للزاوية: $\ar{90^\circ < 2\theta < 180^\circ}$.هذا النطاق الجديد يقع بالكامل داخل الربع الثاني.في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الجيب موجبة دائماً. إذن العبارة المعطاة صحيحة.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، ص 43)
4- إذا كانت $\ar{\sqrt{3} \cos\left(\theta\right) + 3 \sin\left(\theta\right) = r \sin\left(\theta + \alpha\right)}$ فإن $\ar{\alpha =}$ ....... شرح السؤال 🎯 ماذا يطلب منا السؤال: المطابقة هي المفتاح؛ فك الطرف الأيسر باستخدام متطابقة جيب المجموع، ثم ساوِ المعاملات المضروبة في $\ar{\sin}$ و $\ar{\cos}$ في الطرفين. $\ar{30^\circ}$ $\ar{90^\circ}$ $\ar{60^\circ}$ $\ar{120^\circ}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{30^\circ}$📌 التوضيح: لتحويل المقدار $\ar{a \cos\left(\theta\right) + b \sin\left(\theta\right)}$ إلى الصورة الموجية المدمجة $\ar{r \sin\left(\theta + \alpha\right)}$، نستخدم متطابقة جيب مجموع زاويتين لفك المقدار ومطابقة المعاملات واستنتاج الزاوية.خطوات الحل:نفك الطرف الأيسر باستخدام المتطابقة: $\ar{r \sin\left(\theta + \alpha\right) = r \sin\left(\theta\right) \cos\left(\alpha\right) + r \cos\left(\theta\right) \sin\left(\alpha\right)}$.نرتب حدود الطرف الأيمن للمطابقة: $\ar{3 \sin\left(\theta\right) + \sqrt{3} \cos\left(\theta\right)}$.بمساواة معاملات $\ar{\cos\left(\theta\right)}$ نجد: $\ar{r \sin\left(\alpha\right) = \sqrt{3}}$.بمساواة معاملات $\ar{\sin\left(\theta\right)}$ نجد: $\ar{r \cos\left(\alpha\right) = 3}$.بقسمة المعادلة الأولى على الثانية لإيجاد الظل: $\ar{\tan\left(\alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}}$.الزاوية الحادة القياسية التي ظلها يساوي $\ar{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ هي الزاوية $\ar{30^\circ}$.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-4: حل المعادلة المثلثية..، ص 50)
