الإجابة الصحيحة: خطأ​

المفهوم: متطابقة جيب ضعف الزاوية تنص على أن $\ar{2 \sin\left(A\right) \cos\left(A\right) = \sin\left(2A\right)}$. أي أننا نقوم بضرب الزاوية الأصلية في الرقم 2 فقط.​

خطوات الحل:

• الزاوية الأصلية في الطرف الأيسر هي $\ar{A = 3x}$.
• بتطبيق متطابقة ضعف الزاوية: $\ar{2 \sin\left(3x\right) \cos\left(3x\right) = \sin\left(2 \times 3x\right)}$.
• نحصل على النتيجة: $\ar{\sin\left(6x\right)}$.
• الطرف الأيمن في السؤال يساوي $\ar{\sin\left(9x\right)}$ وهذا لا يطابق $\ar{\sin\left(6x\right)}$. إذن العبارة خاطئة.​

⚠️ خطأ شائع: يقع بعض الطلاب في فخ جمع المعاملات بدلاً من تضعيف الزاوية الأصلية، أو توهم أن $\ar{3 \times 3}$ في الزوايا يعطي $9x$ وهذا منافٍ لقاعدة جيب ضعف الزاوية.​

💡 إضاءة (وسع إدراكك): متطابقات ضعف الزاوية تُعتبر أساسية جداً في تبسيط الإشارات المترددة في هندسة الراديو، حيث يتم مضاعفة التردد للحصول على إشارة جديدة.​

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-2: ضعف الزاوية، ص 43)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{85}{77}}$​

المفهوم: قاطع التمام لزاوية مركبة $\ar{\csc(A+B)}$ يساوي المقلوب الرياضي لدالة الجيب $\ar{\frac{1}{\sin(A+B)}}$. نوجد نسب المثلثين لإكمال مفكوك الجيب ثم نقلبه.​

خطوات الحل:

• بما أن $\ar{\sec A = \frac{17}{8}}$، فإن $\ar{\cos A = \frac{8}{17}}$. من فيثاغورس، الضلع المقابل هو 15، إذن $\ar{\sin A = \frac{15}{17}}$.
• بما أن $\ar{\csc B = \frac{5}{4}}$، فإن $\ar{\sin B = \frac{4}{5}}$. من فيثاغورس، الضلع المجاور هو 3، إذن $\ar{\cos B = \frac{3}{5}}$.
• نحسب $\ar{\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B}$.
• نعوض: $\ar{\left(\frac{15}{17}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{8}{17}\right)\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{77}{85}}$.
• المطلوب هو مقلوب هذه النتيجة (قاطع التمام): إذن $\ar{\csc(A+B) = \frac{85}{77}}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: جميع الكسور في النسب الأساسية تحتوي على المقامات 17 و 5. ضربهما حتماً يولد المقام المشترك $\ar{85}$. بما أن المطلوب هو دالة عكسية $\ar{\csc}$ (والتي تمثل المقلوب)، فإن الرقم $\ar{85}$ سينقلب ليحتل موقع البسط. الخيار الوحيد الذي يحتوي على 85 في البسط هو الخيار الثاني، مما يستبعد بقية الكسور.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): حفظ الثلاثيات الفيثاغورية الشهيرة مثل (3،4،5) و (8،15،17) يمثل سلاحاً سرياً للطلاب لتجاوز الحسابات المطولة بلمح البصر.​

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: الزوايا المركبة، ص 40)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{6}$ م

المفهوم: الارتفاع يقسم المثلث الكبير إلى مثلثين قائمين. ظل الزاوية $\ar{A}$ هو المقابل على المجاور، وكذا لـ $\ar{B}$. نستعين بمتطابقة $\ar{\tan(A+B)}$ للربط بينهم.

خطوات الحل:

• بفرض الأجزاء المقطوعة للقاعدة هي $\ar{2}$ و $\ar{3}$ أمتار، إذن $\ar{\tan A = \frac{2}{e}}$ و $\ar{\tan B = \frac{3}{e}}$.
• بما أن $\ar{A+B = 45^\circ}$، إذن $\ar{\tan(A+B) = \tan 45^\circ = 1}$.
• نطبق المتطابقة: $\ar{\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1}$.
• نعوض: $\ar{\frac{\frac{2}{e} + \frac{3}{e}}{1 - \left(\frac{2}{e}\right)\left(\frac{3}{e}\right)} = 1}$.
• نبسط المعادلة: $\ar{\frac{5/e}{1 - 6/e^2} = 1 \Rightarrow \frac{5e}{e^2 - 6} = 1 \Rightarrow e^2 - 5e - 6 = 0}$.
• نحلل المقدار: $\ar{(e - 6)(e + 1) = 0}$. الارتفاع لا يمكن أن يكون سالباً، إذن $\ar{e = 6}$ أمتار.

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لتكوين معادلة الظل الكسرية العلوية والسفلية، ندرك أن مجموع طولي أجزاء القاعدة ($\ar{5}$) سيظهر كمعامل أوسط، وحاصل ضربهما ($\ar{6}$) سيظهر كثابت حر. تحليل معادلة تربيعية ثوابتها $5$ و $6$ لن ينتج إلا الأرقام $1$ و $6$. هذا التوقع يسقط باقي الخيارات فوراً ويوفر وقت الفك.

💡 إضاءة (تطبيق عملي): هذه المتطابقات الهندسية تستخدم في علم المساحة وتحديد المواقع الأرضية لحساب ارتفاعات الجبال الشاهقة باستخدام جهاز الثيودوليت البصري من نقطتي رصد متباعدتين.

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: المتطابقات المركبة، ص 38)

الإجابة الصحيحة: $\ar{\cos\left( \frac{\pi}{3} \right)}$​

المفهوم: متطابقة جيب التمام لفرق الزوايا تنص على أن $\ar{\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B}$. نعكس تطبيق المتطابقة لدمج التعبير الطويل وتبسيطه.​

خطوات الحل:

• بمطابقة المقدار المعطى مع القانون، نجد أن $\ar{A = \frac{5\pi}{6}}$ و $\ar{B = \frac{7\pi}{6}}$.
• نجمعهم في الدالة العكسية: $\ar{\cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{7\pi}{6}\right)}$.
• نُجري عملية طرح الكسور الزاوية: $\ar{\cos\left(\frac{-2\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{-\pi}{3}\right)}$.
• من الخواص الأساسية لدالة جيب التمام أنها (دالة زوجية)، أي أنها تبتلع الإشارة السالبة: $\ar{\cos(-\theta) = \cos(\theta)}$.
• الناتج النهائي السليم هو: $\ar{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد رصد وتحديد تركيبة المتطابقة، يتأكد لنا فوراً أن الناتج سيكون دالة جيب التمام $\ar{\cos}$ حصراً وليس دالة الجيب $\ar{\sin}$، مما يتيح استبعاد الخيار الثاني. ومع طرح الزوايا ذهنياً، تتقلص الزاوية إلى الثلث، فتُستبعد الزوايا الكبيرة والمختلفة مثل $\ar{2\pi}$ و $\ar{\pi/6}$.​

💡 إضاءة (تطبيق عملي): خاصية التجميع والدمج للموجات الجيبية هذه هي الحجر الأساس في تقنيات تصنيع المولدات الموسيقية (Synthesizers) لخلق نغمات جديدة وصافية.​

(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: المتطابقات المركبة، ص 38)​