1- $\ar{\frac{\tan 13^\circ + \tan 32^\circ}{1 - \tan 13^\circ \tan 32^\circ}=1}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: الطرف الأيمن الكسري؛ ألا يذكرك بقانون "ظل مجموع زاويتين" في المتطابقات المثلثية؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: تُستخدم متطابقة ظل مجموع زاويتين لتبسيط التعابير المثلثية الكسرية، حيث تنص المتطابقة على أن $\ar{\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}}$. خطوات الحل: بوضع $\ar{A = 13^\circ}$ و $\ar{B = 32^\circ}$، نلاحظ أن الطرف الأيمن يطابق تماماً مفكوك الدالة $\ar{\tan\left(13^\circ + 32^\circ\right)}$. بجمع الزاويتين نحصل على $\ar{\tan\left(45^\circ\right)}$. ونعلم من قيم الزوايا الخاصة أن $\ar{\tan\left(45^\circ\right) = 1}$، وهو ما يطابق الطرف الأيمن. ⚠️ خطأ شائع: الخلط بين إشارات البسط والمقام، فقانون الفرق (طرح زاويتين) تكون فيه الإشارة سالبة في البسط وموجبة في المقام، والعكس صحيح لقانون المجموع. 💡 إضاءة (ربط العلم بالواقع): المتطابقات المثلثية لعبت دوراً تاريخياً حاسماً في الملاحة البحرية والفلك لتحديد المسافات الشاسعة اعتماداً على زوايا الرؤية. (الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: تعريف الزوايا المركبة، ص 39)
2- إذا كان $\ar{\sin A = \frac{4}{5}}$ ، $\ar{\sin B = \frac{8}{17}}$ ، حيث $\ar{A}$ زاوية حادة، $\ar{B}$ زاوية منفرجة، فإن $\ar{\cos(A - B) = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: مواقع الزوايا في الأرباع الديكارتية؛ أليس جيب التمام للزاوية المنفرجة يحمل إشارة تختلف عن الزاوية الحادة؟ $\ar{\frac{13}{85}}$ $\ar{-\frac{13}{85}}$ $\ar{-\frac{77}{85}}$ $\ar{\frac{77}{85}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{-\frac{13}{85}}$المفهوم: لإيجاد جيب تمام الفرق بين زاويتين، نستخدم المتطابقة المركبة: $\ar{\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B}$. ونستعين بمبرهنة فيثاغورس لإيجاد النسب الناقصة من المثلثات القائمة، مع الحذر لتحديد إشارة الربع.خطوات الحل:للزاوية الحادة $\ar{A}$ (في الربع الأول): الضلع المجاور = $\ar{\sqrt{5^2 - 4^2} = 3}$. إذن الجتا موجب: $\ar{\cos A = \frac{3}{5}}$.للزاوية المنفرجة $\ar{B}$ (في الربع الثاني): الضلع المجاور = $\ar{\sqrt{17^2 - 8^2} = 15}$. الجتا سالب في هذا الربع: إذن $\ar{\cos B = -\frac{15}{17}}$.نعوض في قانون متطابقة الفرق: $\ar{\cos(A - B) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{8}{17}\right)}$.نُجري عمليات الضرب للكسور: $\ar{= \frac{-45}{85} + \frac{32}{85}}$.بجمع البسوط ذات الإشارات المختلفة نصل للناتج: $\ar{-\frac{13}{85}}$.💡 إضاءة (تطبيق عملي): تحديد الأرباع والإشارات الصحيحة للزوايا أمر أساسي في تصميم وبرمجة الروبوتات والأذرع الآلية لتجنب حركاتها وانعطافاتها في الاتجاهات الخاطئة والخطيرة.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: الزوايا المركبة، ص 38)
3- قيمة $\ar{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 فكر معي: تتابع الدوال المضروبة (جا جتا + جتا جا)؛ ألا يمثل هذا النمط شكلاً مفكوكاً لمتطابقة زاوية مركبة مشهورة يمكن تجميعها؟ صفر $\ar{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\ar{\frac{1}{2}}$ $\ar{1}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{2}}$ المفهوم: متطابقة جيب مجموع زاويتين تنص على أن: $\ar{\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B}$. يمكننا استخدام هذه المتطابقة بشكل عكسي لتبسيط التعابير الطويلة جداً وجمعها في دالة واحدة. خطوات الحل: بالنظر للمقدار المعطى، نجد أنه يطابق مفكوك $\ar{\sin(A+B)}$ تماماً، حيث الزاوية $\ar{A = 20^\circ}$ والزاوية $\ar{B = 10^\circ}$. بإرجاع المقدار الطويل لأصله المدمج، نحصل على $\ar{\sin\left(20^\circ + 10^\circ\right)}$. بجمع الزوايا نحصل على زاوية خاصة: $\ar{\sin\left(30^\circ\right)}$. ومن جدول الزوايا المثلثية الخاصة، نعلم أن قيمة $\ar{\sin\left(30^\circ\right)}$ تساوي النصف $\ar{\frac{1}{2}}$. 🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد تحديد أن التعبير يؤول إلى تجميع زاويتين (20 و 10) ليصبح الجيب للزاوية 30، نتذكر أن جيب الزاوية 30 هو نصف. يمكننا فوراً استبعاد الصفر والواحد لأنها تخص زوايا ربعية كالصفر و90، ونستبعد $\ar{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ لأنها تخص جيب الزاوية 60. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): حفظ قيم الزوايا الخاصة ($\ar{30, 45, 60}$) ومتطابقاتها المدمجة يوفر الكثير من وقت الامتحان ويتيح لك حل المسائل المعقدة بخطوة واحدة بمجرد الملاحظة الدقيقة. (الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: المتطابقات المركبة، ص 37)
4- إذا كانت $\ar{\cos \theta = x}$ ، حيث $\ar{\theta}$ زاوية حادة فإن $\ar{\sin 2\theta}$ بدلالة $\ar{x}$ تساوي $\dots \dots \dots$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: كيف نربط الدوال؟ اكتب قانون ضعف الزاوية للجيب أولاً، ثم استعن بمتطابقة فيثاغورس لتستنتج قيمة الجيب المجهولة بدلالة المتغير $\ar{x}$. $\ar{1 - x^2}$ $\ar{1 - 2x^2}$ $\ar{2x \sqrt{1 - x^2}}$ $\ar{2 \sqrt{1 - x^2}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2x \sqrt{1 - x^2}}$المفهوم: قانون ضعف الزاوية لدالة الجيب الأساسية هو $\ar{\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta}$. وللتعبير عن هذه العلاقة بدلالة متغير واحد فقط، نستخدم متطابقة فيثاغورس الدائرية $\ar{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$.خطوات الحل:نعلم من المعطيات أن دالة جيب التمام $\ar{\cos \theta = x}$.من إعادة ترتيب متطابقة فيثاغورس نجد أن: $\ar{\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$.بالتعويض عن القيمة المجهولة: $\ar{\sin \theta = \sqrt{1 - x^2}}$.نعوض في مفكوك قانون ضعف الزاوية: $\ar{\sin 2\theta = 2\left(\sqrt{1 - x^2}\right)\left(x\right)}$.بترتيب وتنسيق الحدود الجبرية نحصل على الصيغة النهائية: $\ar{2x \sqrt{1 - x^2}}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد قراءة السؤال ومعرفة أننا نبحث عن قانون الجيب ($\ar{\sin 2\theta}$)، نعلم أن تركيبته تتطلب ضرب دالتي الجيب وجيب التمام ببعضهما. الخيارات التي تخلو من الجذور كـ $\ar{1 - 2x^2}$ أو $\ar{1 - x^2}$ تمثل عادة متطابقات لضعف زاوية جيب التمام حصراً ($\ar{\cos 2\theta}$) أو تربيع الجيب البسيط، وليست لجيب ضعف الزاوية. وجود الجذر حتمي ومؤكد لأننا نعوض عن دالة الجيب غير المُربعة كلياً.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تحويل الدوال المثلثية الزاويّة إلى دوال جبرية مقروءة بدلالة المتغير $\ar{x}$ يُعتبر أداة رئيسية ومتقدمة لحل وتفكيك التكاملات المعقدة في مقررات التفاضل والتكامل الجامعية.(الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-2: ضعف الزاوية، ص 43)
